「数列」について

　国立 愛知教育大学 2015年 第8問

数列{an}を
an=\frac{(-1)n}{n(n+2)}(n=1,2,3,・・・)
で定める．次の問いに答えよ．
(1)数列{bn}をbn=a_{2n}で定めるとき，Σ_{k=1}nbkを求めよ．
(2)数列{an}の初項から第2n項までの和S_{2n}を求めよ．
(3)\lim_{n→∞}S_{2n}を求めよ．
(4)S=\lim_{n→∞}S_{2n}とおくとき，|S_{2n|-S}＜0.001を満たす最小の自然数nを求めよ．

　私立 慶應義塾大学 2015年 第3問

次の[]にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．
Aを与えられた自然数として，
a1=3A,a_{n+1}={\begin{array}{ll}
an-2&(n　が奇数のとき　)\
an-1&(n　が偶数のとき　)
\end{array}.
によって定まる数列{an}を考える．
(1)a5,a6をAを用いて表すと，a5=[チ]，a6=[ツ]である．また一般に，anをnとAを用いて表すと，
an={\begin{array}{ll}
[テ]&(n\text{が奇数・・・

　私立 早稲田大学 2015年 第1問

数列anをan=n(\frac{81}{100})n(n=1,2,3,・・・)により定義する．
(1)\frac{a_{n+1}}{an}＜1となるnの最小値は[ア]である．
(2)log_{10}a_{11}を小数第3位を四捨五入して得られる値は[イ]である．
(3)an＜1をみたすnを小さいものから順にn1,n2,n3,n4,・・・とおく．n4は[ウ]である．ただし，log_{10}3=0.4771，log_{10}2=0.3010，log_{10}1.1=0.0414であることを利用してよい．
\end{enu・・・

　私立 立教大学 2015年 第3問

次の条件を満たす数列{an}を考える．
a1=4,a_{n+1}=1/2{3+(-1)n}an-1(n=1,2,・・・)
このとき，次の問に答えよ．
(1)奇数番目の項のみからなる数列を{bn}，偶数番目の項のみからなる数列を{cn}とする．つまり，bn=a_{2n-1}，cn=a_{2n}とする．b_{n+1}，cn，bnが次の関係式を満たすとき，定数A,B,C,Dの値をそれぞれ求めよ．
\begin{array}{r}
b_{n+1}=Acn+B\
\phantom{\frac{[]}{2}}cn=Cbn+D
\end{array}\qquad(n=1,2,\・・・

　私立 慶應義塾大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)次の問いに答えよ．
(i)f(x,y)=2x2+11xy+12y2-5y-2を因数分解すると，
(x+[1]y+[2])([3]x+[4]y-[5])
である．
(ii)f(x,y)=56を満たす自然数x,yの値は，x=[6]，y=[7]である．
(2)xy平面上の2直線y=x+4sinθ+1，y=-x+4cosθ-3の交点をPとおく．ただし，θは実数とする．
\begin{en・・・

　私立 自治医科大学 2015年 第12問

数列{an}は，a1=1，a_{n+1}=1/3an+4を満たしている．Sn=Σ_{k=1}nakとするとき，\lim_{n→∞}\frac{Sn}{n}の値を求めよ．

　私立 慶應義塾大学 2015年 第1問

Oを原点とする座標空間に，2点A(0,1,2)，B(1,2,0)がある．
(1)△OABの面積は\frac{\sqrt{[1][2]}}{[3]}である．
(2)点Cの位置を，位置ベクトル
ベクトルOC=2/3ベクトルOA+2/3ベクトルOB
によって定める．このとき，△ABCと△OABの面積の比は
\frac{△ABC}{△OAB}=\frac{[4]}{[5]}
である．
(3)2つのベク・・・

　私立 慶應義塾大学 2015年 第1問

cを定数とし，数列{an}を
an=\frac{c+Σ_{k=1}n2k}{2n}(n=1,2,3,・・・)
で定める．
(1)数列{an}は漸化式
a_{n+1}=[1]+\frac{an}{[2]}(n=1,2,3,・・・)
を満たす．
(2)anをnの式で表すと
an=2-\frac{[3]-c}{2n}(n=1,2,3,・・・)
となる．ゆえに，c=[4]のとき数列{an}は公比1の等比数列になる．
(3)c=1とする．anが1.99を超えない最大のnは[5]である．
(4)c=-38・・・

　私立 中央大学 2015年 第1問

以下の設問に答えよ．
(1)次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ．
\begin{itemize}
a1=1\qquad\qquad\bulleta_{n+1}=3an+8,n=1,2,・・・
\end{itemize}
(2)次の条件によって定められる数列{bn}の一般項を求めよ．
\begin{itemize}
b1=1\qquad\qquad\bulletb_{n+1}=3bn+5n,n=1,2,・・・
\end{itemize}

　私立 上智大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)数列{an}の第1項から第n項までの和Snが3Sn=an+2n-1を満たすならば，
an=\frac{[ア]}{[イ]}(\frac{[ウ]}{[エ]})n+\frac{[オ]}{[カ]}
である．
(2)tを実数とする．座標空間において，点(2t,1,-t)を通りベクトル(-1,2,1)と平行な直線をℓとする．点Pの座標を(0,2,0)とする．
(i)点Pからℓに垂線PHを下ろすとき，
PH2=\・・・