「数列」について

　私立 上智大学 2015年 第2問

Nを2以上の整数とする．整数a,bに対し，演算\oplusを
a\oplusb=\biggl((a+b)　を　N　で割ったときの余り　\biggr)
と定める．例えば，N=2のとき，
0\oplus0=0,0\oplus1=1,1\oplus1=0,1\oplus3=0
である．
(1)次の条件によって定められる数列{an}を考える．
a1=1,a_{n+1}=an\oplus(n+1)(n=1,2,3,・・・)
(i)N=4のとき，a3=[ヌ]である．
(ii)N・・・

　私立 東京理科大学 2015年 第1問

数列{an}を初項5log23，公差-1/2log23-1/2の等差数列とする．このとき，
(1)a_{10}=\frac{[ア]}{[イ]}log23-\frac{[ウ]}{[エ]},a_{11}=-[オ]
である．
(2)数列{bn}を
bn=2^{an}(n=1,2,3,・・・)
と定めると，これは初項[カ][キ][ク]，公比\frac{\sqrt{[ケ]}}{[コ]}の等比数列となる．
(3)数列{an}はあるnより先は負となる・・・

　私立 東京理科大学 2015年 第3問

以下の問いに答えよ．（nは自然数とする．）
(1)x=atanθとおくことにより，定積分
∫0a\frac{dx}{a2+x2}(a＞0)
を求めよ．
(2)極限値
\lim_{n→∞}Σ_{k=0}^{2n}\frac{n}{4n2+k2}
を求めよ．
(3)以下の問いに答えよ．
(i)実数x≧0に対して
\frac{1}{1+x2}-x^{2n+2}≦1+Σ_{k=1}n(-x2)k≦\frac{1}{1+x2}+x^{2n+2}
を示せ．
(ii)数列{an}を
an=Σ_{k=0}n\frac{(-1)k}{2・・・

　私立 早稲田大学 2015年 第1問

[ア]～[エ]にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)数列{an}は，次の条件(i),(ii)を満たす．

(i)a1=0,an≦0(n=2,3,4,・・・)
(ii)n=∫_{an}^{a_{n+1}}(x+1/2)dx(n=1,2,3,・・・)

n=2,3,4,・・・のとき，an=[ア]である．
(2)Σ_{k=1}7log2\・・・

　私立 早稲田大学 2015年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)数列{an}(n=1,2,3,・・・)は次の関係を満たしている．
Σ_{k=1}n\frac{(k+1)(k+2)}{3^{k-1}}ak=-1/4(2n+1)(2n+3)
anをnを用いて表せ．
(2)次の(i),(ii)に答えよ．
(i)次の和Sを求めよ．
S=Σ_{k=1}n\frac{1}{(k+1)(k+2)}
(ii)(1)のanに対して，n≧2のとき，和Q=Σ_{k=1}nakを求めよ．

　私立 福岡大学 2015年 第2問

次の[]をうめよ．
(1)t=sinxとおくとき，y=sinxcos(π/6-x)cos(π/6+x)をtの式で表すとy=[]であり，0≦x≦π/2におけるyの最小値は[]である．
(2)一般項an=2nr^{n-1}(n=1,2,・・・)で表される数列{an}の初項から第n項までの和Snを求めると，r=1のとき[]であり，r=2のとき[]である．

　私立 甲南大学 2015年 第3問

数列{an}，{bn}は，初項がそれぞれa1=1，b1=1であり，次の関係式を満たす．
a_{n+1}=3an+bn+1,b_{n+1}=2an+4bn-1(n=1,2,3,・・・)
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)数列{an+bn}の一般項を求めよ．
(2)数列{2an-bn}の一般項を求めよ．
(3)数列{an}，{bn}の一般項をそれぞれ求めよ．

　私立 広島工業大学 2015年 第3問

数列{an}がa1=9，a_{n+1}=15anを満たしている．次の問いに答えよ．
(1)数列{an}の一般項を求めよ．
(2)a_{21}は何桁の整数か．ただし，log_{10}2=0.3010，log_{10}3=0.4771とする．

　私立 獨協大学 2015年 第3問

次のように定義される数列{an}の一般項anを求めよ．ただし，x2-x-1=0の解がx=\frac{1-√5}{2},\frac{1+√5}{2}という事実を利用せよ．
a1=1,a2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+an,n=1,2,3,・・・

　私立 金沢工業大学 2015年 第4問

数列{an}を
a1=1,a_{n+1}=1+8n+Σ_{k=1}nak(n=1,2,3,・・・)
で定める．
(1)a_{n+1}=[ス]an+[セ](n=1,2,3,・・・)である．
(2)an=[ソ]・{[タ]}^{n-1}-[チ](n=1,2,3,・・・)である．
(3)Σ_{k=1}nak=[ツ]・{[テ]}n-[ト]n-[ナ](n=1,2,3,・・・)である．