「数列」について

　私立 日本女子大学 2015年 第4問

nを自然数とする．白玉4個と赤玉8個が入っている袋から，玉を1個取り出し，色を見てからもとにもどす試行をn回繰り返すとき，白玉が偶数回出る確率をpnとする．ただし，0は偶数と考える．
(1)p_{n+1}をpnで表せ．
(2)数列{pn}の一般項を求めよ．
(3)極限\lim_{n→∞}pnを求めよ．

　私立 北里大学 2015年 第5問

{an}を数列とし，lを数直線とする．各自然数nに対して，座標がanであるようなl上の点をPnとする．次の2条件が成り立っているとする．
(i)a1=0，a2=1である．
(ii)点P_{n+2}は2点Pn，P_{n+1}を結ぶ線分の中点である（n=1,2,3,・・・）．
以下の問に答えよ．
(1)a3の値は[シ]，a4の値は[ス]である．
(2)bn=a_{n+1}-anとおくとき，数列{bn}の一般項はb・・・

　私立 学習院大学 2015年 第5問

（旧課程履修者）2次正方行列
A=(\begin{array}{cc}
3&-1\
4&-2
\end{array})
に対して，数列{xn}，{yn}を
(\begin{array}{c}
x1\
y1
\end{array})=(\begin{array}{c}
1\
1
\end{array}),(\begin{array}{c}
x_{n+1}\
y_{n+1}
\end{array})=A(\begin{array}{c}
xn\
yn
\end{array})+(\begin{array}{c}
1\
4
\end{array})(n=1,2,3,・・・)
で定める．
\mon・・・

　公立 岡山県立大学 2015年 第2問

数列{an}の初項から第n項までの和Snが
Sn=\frac{an}{n+1}+1(n=1,2,3,・・・)
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)a1を求めよ．
(2)一般項anを求めよ．
(3)無限級数Σ_{n=1}^∞anの和を求めよ．

　公立 公立はこだて未来大学 2015年 第4問

数列{an}，{bn}が以下の漸化式をみたすとする．
a1=10,b1=24,a_{n+1}=2an-8,b_{n+1}=1/2bn+6(n=1,2,3,・・・)
以下の問いに答えよ．
(1)数列{an},{bn}の一般項をそれぞれ求めよ．
(2)3辺の長さが，それぞれa2,b2,6である三角形は存在しないことを示せ．
(3)3辺の長さが，それぞれan,bn,6である三角形が存在するようなnの値をすべて求めよ．

　公立 滋賀県立大学 2015年 第3問

数列{an}とその階差数列{bn}に対して，
a1=1,\frac{an}{n}=(3n-2)b_{n-1}(n=2,3,・・・)
が成り立っているとする．
(1){an}の一般項を求めよ．
(2)極限\lim_{n→∞}Σ_{k=1}nbkを求めよ．

　公立 奈良県立医科大学 2015年 第6問

次の条件をみたす数列{an}の一般項を求めよ．
a1=3,a2=5,a_{n+2}=3a_{n+1}-2an(n=1,2,3,・・・)

　国立 東京大学 2014年 第4問

p,qは実数の定数で，0＜p＜1，q＞0をみたすとする．関数
f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^{-qx})
を考える．
以下の問いに答えよ．必要であれば，不等式1+x≦exがすべての実数xに対して成り立つことを証明なしに用いてよい．
(1)0＜x＜1のとき，0＜f(x)＜1であることを示せ．
(2)x0は0＜x0＜1をみたす実数とする．数列{xn}の各項xn(n=1,2,3,・・・)を，
xn=f(x_{n-1})
によって順次定める．p＞qであるとき，
\lim_{n→∞}xn=0
となること・・・

　国立 東京大学 2014年 第5問

rを0以上の整数とし，数列{an}を次のように定める．
a1=r,a2=r+1,a_{n+2}=a_{n+1}(an+1)(n=1,2,3,・・・)
また，素数pを1つとり，anをpで割った余りをbnとする．ただし，0をpで割った余りは0とする．
(1)自然数nに対し，b_{n+2}はb_{n+1}(bn+1)をpで割った余りと一致することを示せ．
(2)r=2,p=17の場合に，10以下のすべての自然数nに対して，bnを求めよ．
(3)ある2つの相異なる自然数n,mに対して，
b_{n+1}=b_{m+1}＞0,\qu・・・

　国立 東京大学 2014年 第4問

rを0以上の整数とし，数列{an}を次のように定める．
a1=r,a2=r+1,a_{n+2}=a_{n+1}(an+1)(n=1,2,3,・・・)
また，素数pを1つとり，anをpで割った余りをbnとする．ただし，0をpで割った余りは0とする．
(1)自然数nに対し，b_{n+2}はb_{n+1}(bn+1)をpで割った余りと一致することを示せ．
(2)r=2,p=17の場合に，10以下のすべての自然数nに対して，bnを求めよ．
(3)ある2つの相異なる自然数n,mに対して，
b_{n+1}=b_{m+1}＞0,\qu・・・