「数学的帰納法」について

　国立 三重大学 2010年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)p,q,r,sを整数とする．このときp+q√2=r+s√2が成り立つならば，p=rかつq=sとなることを示せ．ここで√2が無理数であることは使ってよい．
(2)自然数nに対し，(3+2√2)n=an+bn√2を満たす整数an,bnが存在することを数学的帰納法により示せ．
(3)an,bnを(2)のものとする．このときすべての自然数nについて(x,y)=(an,bn)は方程式x2-2y2=1の解であることを数学的帰納法により示せ．

　国立 三重大学 2010年 第4問

Xを2次の正方行列として以下の問いに答えよ．
(1)p,qを実数としq≠0とする．\biggl(\begin{array}{cc}
p&q\\
0&p
\end{array}\biggr)X=X\biggl(\begin{array}{cc}
p&q\\
0&p
\end{array}\biggr)ならば，XはX=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
0&a
\end{array}\biggr)の形に表せることを示せ．
(2)X=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
0&a
\end{array}\biggr)のとき，自然数nに対しXn=\biggl(\begin{array}{cc}
an&na^{n-1}b\\
0&an
\end{array}\biggr)・・・

　国立 宮崎大学 2010年 第4問

定積分
In=∫1^{√e}(logx)ndx(n=1,2,3,・・・)
について，次の各問に答えよ．
(1)I1の値を求めよ．
(2)等式
I_{n+1}=√e(1/2)^{n+1}-(n+1)In(n=1,2,3,・・・)
が成り立つことを示せ．
(3)すべての自然数nについて，等式
In=(-1)^{n-1}n!+√eΣ_{m=0}n(-1)^{n-m}n!/m!(1/2)m
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，0!=1とする．

　国立 宮崎大学 2010年 第5問

定積分
In=∫1^{√e}(logx)ndx(n=1,2,3,・・・)
について，次の各問に答えよ．
(1)I1の値を求めよ．
(2)等式
I_{n+1}=√e(1/2)^{n+1}-(n+1)In(n=1,2,3,・・・)
が成り立つことを示せ．
(3)すべての自然数nについて，等式
In=(-1)^{n-1}n!+√eΣ_{m=0}n(-1)^{n-m}n!/m!(1/2)m
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，0!=1とする．

　国立 愛媛大学 2010年 第6問

2つの数列{an},{bn}は，すべての自然数nについて
a_{n+1}=\frac{an}{1-bn^{2}},b_{n+1}=a_{n+1}bn
をみたしているとする．
(1)初項がa1=b1=1/2であるとする．
\mon[(i)]a2,b2,a3,b3を求めよ．
\mon[(ii)]an,bnを表すnの式を推定し，それらの推定が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ．
(2)初項がa1=\frac{1}{2010},b1=\frac{2009}{2010}であるとする．
\・・・

　国立 宇都宮大学 2010年 第5問

nを自然数とし，行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array})のn個の積を
An=(\begin{array}{cc}
an&bn\\
cn&dn
\end{array})
とする．ad-bc=3のとき，次の問いに答えよ．ただし，a1=a,b1=b,c1=c,d1=dである．
(1)andn-bncn=3nを数学的帰納法によって証明せよ．
(2)a+d=1のとき，a3+d3を求めよ．
(3)a+d=0のとき，an+dnを求めよ．

　国立 室蘭工業大学 2010年 第3問

数列{an}は
a1=1/3,(1-a_{n+1})(1+2an)=1(n=1,2,3,・・・)
を満たすとする．
(1)すべての正の整数nに対してan≧1/3であることを，数学的帰納法によって証明せよ．
(2)bn=\frac{1}{an}とおくとき，b_{n+1}をbnを用いて表せ．
(3)数列{an}の一般項を求めよ．

　国立 九州工業大学 2010年 第4問

右図のように平面上に正六角形ABCDEFがある．時刻n\\
(n=1,2,3,・・・)において動点Pは正六角形の6つの頂点\\
のいずれかにあり，時刻1では頂点Aにあるものとする．\\
時刻n+1には，時刻nのときにあった頂点の隣り合う2つの\\
頂点のいずれかに移動する．どちらの頂点に移動するかは\\
同様に確からしいものとする．時刻nにおいて，動点Pが頂点\\
A，B，C，D，E，Fにある確率をそれぞれ\\
an,bn,cn,dn,en,fn・・・

　公立 県立広島大学 2010年 第3問

数列{an}を
a1=1,a2=1,a_{n+2}=7a_{n+1}+an(n=1,2,3,・・・)
によって定める．次の問いに答えよ．
(1)a_{n+3}をan,a_{n+1}で表せ．
(2)a_{3n}(n=1,2,3,・・・)が偶数であることを数学的帰納法で証明せよ．
(3)a_{4n}(n=1,2,3,・・・)が3の倍数となることを示せ．

　公立 名古屋市立大学 2010年 第4問

xy平面上に点P0を原点とし，点P1，P2，・・・，Pnがy軸上の正の部分にこの順に並んでいる．y=x2(x＞0)上に点Q1，Q2，・・・，Qnがこの順に並んでおり，k=1からnに対し，∠　Q　k　P　_{k-1}　P　k=∠　Q　k　P　k　P　_{k-1}=θが成り立っている．\frac{1}{tanθ}=tとおくとき，次の問いに答えよ．
(1)点P1，P2，P3の座標を求めよ．
(2)Pn(0,yn)，Qn(xn,xn2)とするとき，ynをx_{n・・・