「数学的帰納法」について

　国立 埼玉大学 2014年 第1問

pを素数とする．以下の問いに答えよ．
(1)1≦r≦p-1を満たす自然数rに対し，\comb{p}{r}はpで割り切れることを示せ．ただし，\comb{p}{r}はp個からr個とる組合せの総数を表すものとする．
(2)1≦s≦q-1を満たす自然数の組(q,s)であって，\comb{q}{s}がqで割り切れないものを1組あげよ．
(3)自然数m,nに対し，(m+n)p-(mp+np)がpで割り切れることを示せ．
(4)自然数nに対し，np-nはpで割り切れることを，nに関する数学的帰納法を用いて証明せよ．・・・

　国立 広島大学 2014年 第1問

a,bを実数，a＞0として，行列A=(\begin{array}{cc}
a&2\
-2&b
\end{array})の定める1次変換をfとする．fによって，点P(1,0)が点P1に移され，点P1が点P2に移されるものとする．Pが線分P1P2の中点であるとき，次の問いに答えよ．
(1)a,bを求めよ．
(2)ある実数cに対してcベクトルOP+ベクトルOP1=(v1,v2)とすると，
A(\begin{array}{c}
v1\
v2
\end{array})=(\begin{array}{c・・・

　国立 岡山大学 2014年 第1問

数列{an}が
{\begin{array}{l}
a1=1\
a_{n+1}-an=an(5-a_{n+1})\qquad(n=1,2,3,・・・)
\end{array}.
を満たしているとき，以下の問いに答えよ．
(1)nに関する数学的帰納法で，an＞0であることを証明せよ．
(2)bn=\frac{1}{an}とおくとき，b_{n+1}をbnを用いて表せ．
(3)anを求めよ．

　国立 金沢大学 2014年 第3問

数列{an}が
a1+2a2+3a3+・・・+nan=2n-1(n=1,2,3,・・・)
をみたしている．次の問いに答えよ．
(1)一般項anを求めよ．
(2)Sn=Σ_{k=1}n\frac{1}{ak}とおくとき，
Sn=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}(n=1,2,3,・・・)
となることを数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)和Σ_{k=1}n\frac{k}{ak}を求めよ．

　国立 琉球大学 2014年 第2問

a,b,c,dはa+d=0，ad-bc=1をみたす実数とし，A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})，E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})とする．次の問いに答えよ．
(1)A2=-Eを示せ．
(2)p,qは実数でp2+q2≠0をみたすとする．実数x,yに対して(pA+qE)(xA+yE)=Eが成り立つとき，x,yをp,qで表せ．
(3)θを実数とする．すべての正の整数nに対して
{(cosθ)E+(sinθ)A}n=(cosnθ)E+(sinn\the・・・

　国立 滋賀大学 2014年 第2問

2つの数列{an},{bn}を以下のように定める．
a1=a,a_{2n}=a_{2n-1}+d,a_{2n+1}=ra_{2n}(n=1,2,3,・・・)
b1=a,b_{2n}=rb_{2n-1},b_{2n+1}=b_{2n}+d(n=1,2,3,・・・)
ただし，a≠0，r≠0，r≠1とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)a=3，d=1，r=2のとき，b9を求めよ．
(2)数学的帰納法を用いて，すべての自然数nに対して次が成り立つことを示せ．
a_{2n}=ar^{n-1}+\frac{d(rn-・・・

　国立 愛知教育大学 2014年 第8問

A=(\begin{array}{cc}
2&-2\
0&1
\end{array})，B=(\begin{array}{cc}
1&1\
0&1
\end{array})とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)自然数nに対して，(AB)nを推測し，それを数学的帰納法で証明せよ．
(2)自然数nに対して，(BA)nを求めよ．

　国立 岐阜大学 2014年 第5問

nを正の整数とし，x≧0とする．以下の問に答えよ．
(1)rn(x)=ex-(1+x+1/2!x2+・・・+1/n!xn)とする．rn(x)≧0をnに関する数学的帰納法を使って示せ．
(2)\lim_{x→∞}xne^{-x}=0を示せ．
(3)t≧0とし，f(t)=∫0txne^{-x}dxとする．\lim_{t→∞}f(t)を求めよ．

　国立 富山大学 2014年 第2問

pを素数とするとき，次の問いに答えよ．
(1)自然数kが1≦k≦p-1を満たすとき，\comb{p}{k}はpで割り切れることを示せ．ただし，\comb{p}{k}はp個のものからk個取った組合せの総数である．
(2)nを自然数とするとき，nに関する数学的帰納法を用いて，np-nはpで割り切れることを示せ．
(3)nがpの倍数でないとき，n^{p-1}-1はpで割り切れることを示せ．

　国立 岐阜大学 2014年 第5問

数列{an}を
a1=3/4,a_{n+1}=1-\frac{1}{4an}(n=1,2,3,・・・)
で定める．以下の問に答えよ．
(1)a2,a3,a4,a5,a6を求めよ．また，それより一般項anを推定せよ．
(2)数学的帰納法により，(1)の一般項の推定が正しいことを証明せよ．
(3)nを正の整数とする．すべての実数xに対して，不等式
anx2+x+1≧a_{n+1}
が成り立つことを示せ．
(4)nを正の整数とする．すべての実数xに対して，不等式
x^{2n}+x^{2n-1}+x^{2n-2}+・・・+x2+・・・