タグ「数学的帰納法」の検索結果
(3ページ目:全102問中21問~30問を表示)
a≠1に対してA=(\begin{array}{cc}
0&1\
-a2&2a
\end{array})とする.
(1)E-Aの逆行列Bを求めよ.ただしE=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})とする.
(2)n=1,2,3,・・・に対して,
E+A+A2+・・・+An=B(E-A^{n+1})
となることを示せ.
(3)An=(\begin{array}{cc}
-(n-1)an&na^{n-1}\
-na^{n+1}&(n+1)an
\end{array})(n=1,2,3,・・・)を数学的帰納法を用いて示せ.
(4)Σ・・・
国立 宮城教育大学 2014年 第1問数列{an}は
a1=a2=-1,
a_{n+2}-(n+2)a_{n+1}+nan=(n2+n+1)(n+1)!(n=1,2,3,・・・)
をみたすとする.次の問いに答えよ.
(1)数学的帰納法を用いて,
a_{n+1}-nan=(n-1)(n+1)!(n=1,2,3,・・・)
が成り立つことを示せ.
(2)bn=\frac{an}{(n-1)!}とおくとき,(1)を用いて数列{bn}の一般項を求めよ.
(3)数列{an}の一般項を求めよ.
国立 九州工業大学 2014年 第2問A+B=E,AB=Oをみたす2×2行列A,Bを考える.ただし,Eは単位行列,Oは零行列である.以下の問いに答えよ.
(1)A2=A,B2=B,BA=Oとなることを示せ.
(2)(A+αB)n=A+knBをみたす実数knを推測し,その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ.ただし,αは実数であり,nは自然数である.
(3)A+αB=(\begin{array}{cc}
-1&-3\
2&4
\end{array})であるとき,A,Bと実数αを求めよ.
国立 山形大学 2014年 第4問行列A=(\begin{array}{cc}
7&-4\
5&-2
\end{array})について,次の問に答えよ.ただし,nは自然数とする.
(1)P=(\begin{array}{cc}
4&1\
5&1
\end{array})とするとき,P^{-1}APを求めよ.
(2)Anを求めよ.
(3)数列{an}を漸化式a1=2,a_{n+1}=\frac{7an-4}{5an-2}で定める.
(i)An=(\begin{array}{cc}
pn&qn\
rn&sn
\end{array})とおくとき,A^{n+1}=AAnである・・・
国立 山口大学 2014年 第1問a,bを実数とする.行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
b&a
\end{array})について,次の問いに答えなさい.
(1)すべての自然数nに対して,
An=(\begin{array}{cc}
an&bn\
bn&an
\end{array})
となる実数an,bnがあることを数学的帰納法で示し,an,bnを用いてa_{n+1},b_{n+1}を表しなさい.
(2)cn=an+bn,dn=an-bnとおく.数列{cn}の漸化式と数列{dn}の漸化式をそれぞれ求め,a,b,nを用いてcn,dnを表しなさ・・・
国立 山口大学 2014年 第3問a,bを実数とする.行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
b&a
\end{array})について,次の問いに答えなさい.
(1)すべての自然数nに対して,
An=(\begin{array}{cc}
an&bn\
bn&an
\end{array})
となる実数an,bnがあることを数学的帰納法で示し,an,bnを用いてa_{n+1},b_{n+1}を表しなさい.
(2)cn=an+bn,dn=an-bnとおく.数列{cn}の漸化式と数列{dn}の漸化式をそれぞれ求め,a,b,nを用いてcn,dnを表しなさ・・・
国立 山口大学 2014年 第3問次の問いに答えなさい.
(1)2つの整数a,bが1+√2=a+b√2を満たすならば,a=b=1であることを示しなさい.ただし,√2が無理数であることは示さなくてよい.
(2)kを自然数とする.2つの整数a,bが(1+√2)^{k+1}=a+b√2を満たしているとき,(1+√2)k=a´+b´√2を満たす整数a´,b´をa,bを用いて表しなさい.
(3)すべての自然数nに対して,
命題「2つの整数a,bが(1+√2)n=a+b√2を満たしている・・・
国立 電気通信大学 2014年 第3問次の条件によって定められる数列{an}を考える.
a1=0,a_{n+1}=\frac{2n(n+1)}{3n-an}(n=1,2,3,・・・)
このとき,以下の問いに答えよ.
(1)不等式an<nを数学的帰納法によって証明せよ.
(2)数列{bn}をbn=\frac{n}{n-an}(n=1,2,3,・・・)で定める.b_{n+1}をbnを用いて表せ.
(3)数列{bn}の一般項を求めよ.
(4)数列{an}の一般項を求めよ.
(5)極限\lim_{n→∞}\frac{an}{n}および\li・・・
公立 大阪市立大学 2014年 第3問1次変換fは点(1,3)を点(3,5)へ,点(1,-1)を点(1,-1)へ移すとする.fを表す行列をAとするとき,次の問いに答えよ.
(1)Aを求めよ.
(2)A2,A3を求めよ.
(3)自然数nに対してAnを推測し,その推測が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ.
公立 富山県立大学 2014年 第4問αは実数とする.行列A=(\begin{array}{cc}
1&-√3\
√3&1
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
cosα&-sinα\
sinα&cosα
\end{array})について,次の問いに答えよ.
(1)A=r(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})と表すとき,r,θの値を求めよ.ただし,r>0,0<θ<πとする.
(2)Bn=(\begin{array}{cc}
cosnα&-\・・・