タグ「数学的帰納法」の検索結果

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    信州大学 国立 信州大学 2013年 第4問
    θは実数とする.行列A=(\begin{array}{rr}
    cosθ&sinθ\
    -sinθ&cosθ
    \end{array})について,次の問いに答えよ.
    (1)すべての自然数kに対してAk=(\begin{array}{rr}
    coskθ&sinkθ\
    -sinkθ&coskθ
    \end{array})が成り立つことを,数学的帰納法を用いて示せ.
    (2)nは2以上の自然数とし,θ=\frac{2π}{n}とする.B=A+A2+・・・+A^{n-1}とおくとき,AB=B+E-Aが成り立つことを・・・
    福岡教育大学 国立 福岡教育大学 2013年 第1問
    次の問いに答えよ.
    (1)実数x,yが(x-2)2+y2≦3を満たすとき,\frac{y-7}{x}のとりうる値の範囲を求めよ.
    (2)自然数nについて13+23+33+・・・+n3={1/2n(n+1)}2が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ.
    (3)0≦θ<2πのとき,関数y=sin2θ-sin(θ+π/2)の最大値と最小値を求めよ.また,そのときのθの値を求めよ.
    静岡大学 国立 静岡大学 2013年 第4問
    次の問いに答えよ.
    (1)nを自然数とするとき,ある自然数aとbを用いて,
    (2+√3)n=a+b√3,(2-√3)n=a-b√3
    とかけることを,数学的帰納法を使って示せ.
    (2)(1)のaとbについて,a2-3b2=1が成り立つことを示せ.
    (3)nを自然数とするとき,ある自然数mを用いて,
    (2+√3)n=√m+\sqrt{m-1},(2-√3)n=√m-\sqrt{m-1}
    とかけることを示せ.
    静岡大学 国立 静岡大学 2013年 第2問
    次の問いに答えよ.
    (1)nを自然数とするとき,ある自然数aとbを用いて,
    (2+√3)n=a+b√3,(2-√3)n=a-b√3
    とかけることを,数学的帰納法を使って示せ.
    (2)(1)のaとbについて,a2-3b2=1が成り立つことを示せ.
    (3)nを自然数とするとき,ある自然数mを用いて,
    (2+√3)n=√m+\sqrt{m-1},(2-√3)n=√m-\sqrt{m-1}
    とかけることを示せ.
    愛知教育大学 国立 愛知教育大学 2013年 第8問
    Oを原点とする座標平面上を動く点Pの時刻tにおける座標P(x(t),y(t))が
    {\begin{array}{l}
    x(t)=etcost\
    y(t)=etsint
    \end{array}.
    で与えられている.
    (1)時刻tにおける点Pの速度ベクトルベクトルv1(t)=(x´(t),y´(t))は,ある2×2行列Aによって
    (\begin{array}{c}
    x´(t)\
    y´(t)
    \end{array})=A(\begin{array}{c}
    x(t)\
    y(t)
    \end{array})
    と表すことができる・・・
    徳島大学 国立 徳島大学 2013年 第5問
    次の問いに答えよ.
    (1)不等式(x-1)2-3|x-1|+1<0を満たす整数xをすべて求めよ.
    (2)すべての自然数nに対して,2^{n-1}+3^{3n-2}+7^{n-1}が5の倍数であることを,数学的帰納法を用いて証明せよ.
    電気通信大学 国立 電気通信大学 2013年 第3問
    以下の問いに答えよ.
    (1)自然数nに対して,
    (cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ)
    が成り立つことをnに関する数学的帰納法により証明せよ.ただし,iは虚数単位とする.
    (2)cos(nθ)=0をみたすようなθをすべて求めよ.
    (3)t=cosθとする.(1)の等式を使って,cos5θ=f(t)をみたす多項式f(t)を求めよ.
    (4)f(t)=0のすべての解をcosα(0≦α≦π)の形で表せ.また,それらを大きい順に並べよ.
    (5)\displ・・・
    滋賀大学 国立 滋賀大学 2013年 第4問
    △O1A1B1において辺A1B1,B1O1,O1A1の中点をそれぞれO2,A2,B2とする.次に,△O2A2B2において辺A2B2,B2O2,O2A2の中点をそれぞれO3,A3,B3とする.これをくり返して,△OnAnBnにおいて辺AnBn,BnOn,OnAnの中点・・・
    筑波大学 国立 筑波大学 2013年 第4問
    3つの数列{an},{bn},{cn}が
    \begin{array}{lll}
    a_{n+1}=-bn-cn&&(n=1,2,3,・・・)\
    b_{n+1}=-cn-an&&(n=1,2,3,・・・)\
    c_{n+1}=-an-bn&&(n=1,2,3,・・・)
    \end{array}
    およびa1=a,b1=b,c1=cを満たすとする.ただし,a,b,cは定数とする.
    (1)pn=an+bn+cn(n=1,2,3,・・・)で与えられる数列{pn}の初項から第n項までの和Snを求めよ.
    (2)数列{an},{bn},{cn}の一般項を求めよ.
    (3)qn=(-1)・・・
    山形大学 国立 山形大学 2013年 第4問
    自然数nに対し,座標平面上の点(n,1)をPnとする.また,rを正の実数とする.このとき,次の問に答えよ.
    (1)1次変換fは,すべてのnに対してf(Pn)=P_{n+1}を満たすとする.fを表す行列Aを求めよ.
    (2)1次変換gは,点(1,1)を点(-2r,1)に,点(-2r,1)を点(2r2-r,1)に移すとする.gを表す行列Bを求めよ.
    (3)C=ABA^{-1}とする.行列Cnを推定し,それが正しいことを数学的帰納法によって示せ.
    (4)行列Cnで表される1次変換による点(1,r)・・・
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「数学的帰納法」とは・・・

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