「数学的帰納法」について

　国立 三重大学 2013年 第3問

正四面体ABCDを考える．点Pは，時刻0では頂点Aにあり，1秒ごとに，今いる頂点から他の3頂点のいずれかに，等しい確率で動くとする．nを0以上の整数とし，点Pがn秒後にA，B，C，Dにある確率を，それぞれpn,qn,rn,snとする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)n≧1に対しqn=rn=snとなることを数学的帰納法で証明せよ．
(2)n≧1に対しpn,qnをp_{n-1},q_{n-1}で表せ．ただし，p0=1,q0=0とする．・・・

　国立 鹿児島大学 2013年 第3問

次の各問いに答えよ．
(1)三角形ABCの垂心をHとする．次の等式が成り立つことを示せ．
ベクトルHA・ベクトルHB=ベクトルHB・ベクトルHC=ベクトルHC・ベクトルHA
ただし，三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした3本の垂線は1点で交わる．この点を三角形の垂心という．
(2)次の(i),(ii)に答えよ．
(i)自然数nに対して自然数anを次のように定義する．
an=(2n-1)・(2n-3)・・・・・3・1・・・

　国立 山形大学 2013年 第4問

自然数nに対し，座標平面上の点(n,1)をPnとする．また，rを正の実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)1次変換fは，すべてのnに対してf(Pn)=P_{n+1}を満たすとする．fを表す行列Aを求めよ．
(2)1次変換gは，点(1,1)を点(-2r,1)に，点(-2r,1)を点(2r2-r,1)に移すとする．gを表す行列Bを求めよ．
(3)C=ABA^{-1}とする．行列Cnを推定し，それが正しいことを数学的帰納法によって示せ．
(4)行列Cnで表される1次変換による点(1,r)・・・

　国立 宮崎大学 2013年 第2問

次の各問に答えよ．
(1)方程式2・8x-3・4^{x+1}+5・2^{x+1}+24=0を満たすような実数xをすべて求めよ．
(2)数列{an}が，a1=sin2θ,a_{n+1}=4an(1-an)(n=1,2,3,・・・)で定められているとき，次の(i),(ii)に答えよ．
(i)a2とa3を，θを用いて表せ．
(ii)anがθとnを用いてどのように表されるのか予想し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．
\end・・・

　国立 九州工業大学 2013年 第3問

行列A=(\begin{array}{cc}
3&4\
1&6
\end{array})について，以下の問いに答えよ．
(1)連立1次方程式{\begin{array}{l}
3x+4y=kx\
x+6y=ky
\end{array}.がx=y=0以外の解をもつような実数kの値を2つ求めよ．
(2)(1)で求めたkの値をa,b(a＜b)とし，B=(\begin{array}{cc}
a&0\
0&b
\end{array})とする．実数s,tに対し，行列P=(\begin{array}{cc}
s&t\
1&1
\end{array})がAP=PBを満たすとき，実数s,t・・・

　国立 岐阜大学 2013年 第4問

正の整数nについて，x＞0で定義された関数fn(x)を次で定める．
\begin{array}{l}
f1(x)=xlogx\
f_{n+1}(x)=(n+1)∫1xfn(t)dt+\frac{1}{n+1}(x^{n+1}-1)
\end{array}
以下の問に答えよ．ただし，logxはxの自然対数とする．
(1)関数f2(x)を求めよ．
(2)関数fn(x)の具体的な形を推測し，それを数学的帰納法で証明せよ．
(3)g(x)=|f2(x)|-|x-1|とおくとき，g(x)がx=1で微分可能であることを証明せよ．また，微分係数g´(1)を求めよ．
\end・・・

　国立 長崎大学 2013年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)a1=3/2,a_{n+1}+2a_{n+1}an-3an=0(n≧1)で与えられる数列{an}について，a2,a3,a4,a5の値を求めよ．また，一般項anを推測し，その推測の結果を数学的帰納法で証明せよ．
(2)7/12π=π/3+π/4であることを利用してsin7/12πを求め，1≦x≦4のとき，次の方程式を解け．
sinx=\frac{√6+√2}{4}
(3)0≦x＜\frac・・・

　国立 長崎大学 2013年 第3問

nを2以上の整数とする．n個の実数a1,a2,・・・,anが与えられたとき，
Pn=(a1+a2+・・・+an)2,Qn={a1}2+{a2}2+・・・+{an}2
とおく．次に，1≦i＜j≦nを満たすすべての番号i,jに対するaiajの和をRnとする．たとえば，R2=a1a2，R3=a1a2+a1a3+a2a3である．同様に，1≦i＜j≦nを満たすすべての番号i,jに対する(ai-aj)2の和をSnとする．たとえば，S2=(a1-a2)2，S3=(a1-a2)2+(a1-a3)2+(a2-a3)2である．次の問いに答えよ．
・・・

　私立 倉敷芸術科学大学 2013年 第5問

数列{an}は，a1=2，a_{n+1}=2{an}2-3an+5(n=1,2,3,・・・)を満たすとする．このとき，どのような自然数nに対しても，an-2は5で割り切れることを，数学的帰納法を使って証明せよ．

　公立 会津大学 2013年 第6問

nを自然数とするとき，次の等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．
13+23+33+・・・+n3=\frac{n2(n+1)2}{4}