「数学的帰納法」について

　公立 横浜市立大学 2013年 第2問

aを正の定数とする．nを0以上の整数とし，多項式Pn(x)をn階微分を用いて
Pn(x)=\frac{dn}{dxn}(x2-a2)n(n≧1),P0(x)=1
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)n=2およびn=3に対して
P2(-a),P3(-a)
を求めよ．
(2)u=u(x)，v=v(x)を何回でも微分可能な関数とする．そのとき，{\bfライプニッツの公式}
(uv)^{(n)}=\comb{n}{0}u^{(n)}v+\comb{n}{1}u^{(n-1)}v´+・・・+\comb{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)}+・・・+\comb{n}{n-1}u´v^{(n-1)}+\comb{n}・・・

　国立 東京医科歯科大学 2012年 第1問

数列{an},{bn}を次のように定義する．
{
\begin{array}{l}
a1=5,b1=3,\\
(\begin{array}{c}
a_{n+1}\\
b_{n+1}
\end{array})=(\begin{array}{cc}
5&3\\
3&5
\end{array})(\begin{array}{c}
a_{n}\\
b_{n}
\end{array})(n=1,2,3,・・・)
\end{array}
.
また，自然数nについてcn=an2-bn2とおく．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)cnをnを用いて表せ．
(2)kを自然数とするとき，自然数ℓについて・・・

　国立 佐賀大学 2012年 第2問

正の数からなる数列{an}に対し，Sn=Σ_{k=1}nakとする．すべての自然数nに対して，\frac{an+3}{2}=\sqrt{3Sn}が成り立つとき，次の問いに答えよ．
(1)a1を求めよ．
(2)a_{n+1}をSnを用いて表せ．
(3)nが自然数であるとき，数学的帰納法を用いて，Sn=3n2が成り立つことを証明せよ．

　国立 宮崎大学 2012年 第2問

数列{an}が
a1=1/3,a_{n+1}=\frac{1}{3-2an}(n=1,2,3,・・・)
で定められているとき，次の各問に答えよ．
(1)a2,a3,a4の値を求めよ．
(2)一般項anを予想し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

　国立 和歌山大学 2012年 第5問

行列A=(\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
2&3&4
\end{array}),B=(\!\!\begin{array}{rr}
1&-1\\
1&1\\
-1&0
\end{array})について，次の問いに答えよ．
(1)ABおよびABAを求めよ．
(2)自然数nに対して，(AB)nAを推測し，それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ．
(3)自然数nに対して，(BA)^{n+1}を求めよ．

　国立 長岡技術科学大学 2012年 第1問

行列A=(\begin{array}{cc}
1&1\
0&2
\end{array})について，以下の問いに答えなさい．
(1)A2とA3を求めなさい．
(2)自然数nに対してAnを推測し，それを数学的帰納法により証明しなさい．

　国立 長崎大学 2012年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)mを5以上の自然数とする．次の不等式が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．
m!＞2m＞m2
(2)自然数nに対する次の和を求めよ．
Sn=\frac{1}{1・3}+\frac{1}{2・4}+\frac{1}{3・5}+・・・+\frac{1}{n(n+2)}
(3)(2)で求めたSnについて，Sn＜3/4が成り立つことを示せ．
(4)(2)で求めたSnについて，Sn＞2/3を満たす最小の自然数nを求めよ．

　国立 京都教育大学 2012年 第5問

関数f(x)=x2-2に対して，y=f(x)のグラフ上の点(a,f(a))における接線とx軸との交点のx座標をg(a)とおく．ただし，a＞0とする．またx1=4とし，n=1,2,3,・・・に対してx_{n+1}=g(xn)とおく．次の問に答えよ．
(1)y=f(x)のグラフ上の点(4,14)におけるグラフの接線の方程式を求めよ．
(2)どのような自然数nに対してもxn＞0であることを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)x3を求めよ．
(4)どのような自然数nに対してもx_{n+1}≧√2であることを，相加平均と相乗・・・

　私立 法政大学 2012年 第2問

f(x)=x2-5として，数列{an}を次のように定義する．\\
a1=3，点(an,f(an))における曲線y=f(x)の接線がx軸と交わる点のx座標をa_{n+1}とする(n=1,2,3,・・・)。\\
次の問いに答えよ．
(1)a_{n+1}をanで表せ．
(2)命題P(n)を\lceil√5＜a_{n+1}＜an\rfloorとするとき，すべての正の整数nに対してP(n)が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)次の不等式が共に成り立つ1より小さい正の数rが存在することを示せ．
\mon・・・

　私立 中央大学 2012年 第4問

関数f(x)の第n次導関数を\frac{dn}{dxn}f(x)で表す．いま，自然数nに対して関数Hn(x)を次で定義する．
Hn(x)=(-1)ne^{x2}\frac{dn}{dxn}e^{-x2}
以下の問いに答えよ．
(1)H1(x),H2(x),H3(x)を求めよ．
(2)導関数d/dxHn(x)をHn(x)とH_{n+1}(x)を用いて表せ．さらに，nに関する数学的帰納法によりHn(x)がn次多項式（整式）であることを証明せよ．
(3)n≧3のとき，定積分
Sn(a)=∫0axHn(x)e^{-x2}dx・・・