「数学的帰納法」について

　国立 福井大学 2011年 第4問

関数fn(x)(n=0,1,2,3,・・・)は次の条件を満たしている．
(　i　)f0(x)=ex,(　ii　)fn(x)=∫0x(n+t)f_{n-1}(t)dt(n=1,2,3,・・・)
このとき以下の問いに答えよ．
(1)f1(x),f2(x)を求めよ．
(2)fn(x)の具体的な形を推測し，その結果を数学的帰納法で証明せよ．

　国立 九州工業大学 2011年 第2問

実数aと行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a-2&-2a\\
4a&-2a+2
\end{array}\biggr)がある．Aが表す座標平面上の点の移動に関する以下の二つの条件を考える．
条件1：原点O以外のある点PがAによってP自身に移される．
条件2：原点O以外のある点QがAによって線分OQ上のQ以外の点に移される．
以下の問いに答えよ．
(i)条件1がみたされるとき，aの値を求めよ．
(ii)条件1，条件2の両方がみたされるとき，aの値を求めよ．
\・・・

　国立 琉球大学 2011年 第1問

実数pに対して，行列A,B,Cをそれぞれ
A=\biggl(\begin{array}{cc}
0&p\\
1&0
\end{array}\biggr),B=\biggl(\begin{array}{cc}
1&1\\
0&1+p
\end{array}\biggr),C=\biggl(\begin{array}{cc}
1&p\\
1+p&-1
\end{array}\biggr)
とおく．さらに，行列An(n=1,2,3,・・・)を
A1=A,A_{n+1}=AnB-BAn+C(n=1,2,3,・・・)
で定める．次の問いに答えよ．
(1)A2,A3を求めよ．
(2)An(n=1,2,3,・・・)を推測し，その推測が・・・

　国立 室蘭工業大学 2011年 第2問

正の整数nに対して，Sn(x)=∫0xtne^{-t}dtとおく．ただし，eは自然対数の底とする．
(1)S_{n+1}(x)をn,xおよびSn(x)を用いて表せ．
(2)mを正の整数とする．x＞0のとき，不等式e^{\frac{x}{m+1}}＞\frac{x}{m+1}が成り立つことを示せ．また，\lim_{x→∞}\frac{xm}{ex}=0となることを示せ．
(3)数学的帰納法を用いて，すべての正の整数nに対して，\lim_{x→∞}Sn(x)=n!となることを示せ．

　国立 福井大学 2011年 第4問

関数fn(x)(n=0,1,2,3,・・・)は次の条件を満たしている．
(i)f0(x)=e^{2x}+1
(ii)fn(x)=∫0x(n+2t)f_{n-1}(t)dt-\frac{2x^{n+1}}{n+1}(n=1,2,3,・・・)
このとき以下の問いに答えよ．
(1)f1(x),f2(x)を求めよ．
(2)fn(x)の具体的な形を推測し，その結果を数学的帰納法で証明せよ．
(3)Σ_{n=1}^∞{fn´(1/2)・・・

　国立 宮城教育大学 2011年 第2問

数列{an},{bn}を次の関係式により定義する．
\begin{align}
&a1=3,b1=1,\nonumber\\
&a_{n+1}=\frac{3an+13bn}{2},b_{n+1}=\frac{an+3bn}{2}(n=1,2,3,・・・)\nonumber
\end{align}
このとき，次の問いに答えよ．
(1)数学的帰納法を用いて，an+bn,an-bnはともに正の偶数であることを証明せよ．
(2)cn=an+\sqrt{13}bn,dn=an-\sqrt{13}bnとおく．数列{cn},{dn}の一般項を求めよ．
(3)数列{an},{bn}・・・

　国立 九州工業大学 2011年 第2問

実数θに対して，行列AをA=(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})とする．また，nを自然数とし，Aのn乗をAnで表す．次に答えよ．
(1)数学的帰納法により，すべての自然数nに対して
An=(\begin{array}{cc}
cosnθ&-sinnθ\
sinnθ&cosnθ
\end{array})
が成立することを示せ．
(2)θ=π/12とする．ある自然数nに対しては，行列Anによ・・・

　国立 愛媛大学 2011年 第1問

四面体OABCの辺OB，OC，AC，ABの中点をそれぞれP，Q，R，Sとする．また，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとする．
(1)ベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて，ベクトルASとベクトルARを表せ．
(2)ベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて，ベクトルPQ，ベクトルPS，ベクトルSRを表せ．
(3)点O，A，B，Cの座標が実数tを用いて，それぞれ(・・・

　国立 東京海洋大学 2011年 第1問

行列A=(\begin{array}{cc}
1&4\
4&1
\end{array})に対し，An=(\begin{array}{cc}
an&bn\
cn&dn
\end{array})，pn=\frac{an}{cn}(n=1,2,3,・・・)とおく．
(1)数学的帰納法を用いて，an=dnおよびbn=cnが成り立つことを示せ．
(2)p_{n+1}をpnを用いて表せ．
(3)qn=\frac{1}{pn-1}とおくとき，q_{n+1}をqnを用いて表せ．
(4)数列{pn}の一般項を求めよ．

　私立 西南学院大学 2011年 第5問

以下の問に答えよ．
(1)253を計算して，その答えをA×103+625の形に表したとき，Aの値を求めよ．ただし，Aは0以上の整数とする．
(2)2以上の自然数nに対して，25nの下3桁は625になることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)25^{25}の下4桁の数値を求めよ．