「数学的帰納法」について

　私立 学習院大学 2011年 第3問

nを自然数とする．
(1)不等式
(1+2/n)n≧3
が成り立つことを証明せよ．
(2)不等式
(n+1)^{n-1}(n+2)n≧3n(n!)2
が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ．

　公立 首都大学東京 2011年 第4問

数列{an}が次の式によって与えられているとする．
an=(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)・・・(1-\frac{1}{(n+1)2})
このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)n=1,2,3,4に対して，それぞれ2(n+1)anの値を求めなさい．
(2)anの一般項を推定し，推定した式がすべての自然数nに対して正しいことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
(3)an＞1/2+\frac{100}{n2}をみたす最小のnを求め・・・

　公立 岡山県立大学 2011年 第2問

数列{an}が，a1=2/3,a_{n+1}=\frac{2-an}{3-2an}(n=1,2,3,・・・)を満たしている．次の問いに答えよ．
(1)a2,a3を求めよ．
(2)一般項anを推定し，それが正しいことを数学的帰納法により証明せよ．
(3)a_{n+1}-an＜\frac{1}{5000}を満たす最小のnを求めよ．

　公立 大阪府立大学 2011年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)自然数nに対して，sn=Σ_{k=1}n\frac{k}{2k}とする．このとき数学的帰納法により，
sn=\frac{2^{n+1}-n-2}{2n}
であることを示せ．
(2)a1=0,a2=1とし，自然数nに対して，a_{n+2}-3a_{n+1}+2an=n+1を満たす数列{an}について以下の問いに答えよ．
\mon[(i)]bn=a_{n+1}-anとするとき，数列{bn}が満たす漸化式を求めよ．
\mon[(ii)]bnを(1)で与えたsnを用いて表せ．
\mon[(iii)]数列{an}の一般項anを求・・・

　公立 会津大学 2011年 第6問

nを自然数とし，
Sn=12+22+32+・・・+n2
とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)次の等式を数学的帰納法を用いて証明せよ．
Sn=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
(2)(1)の結果を利用して，S_{3n}+nが3の倍数であることを証明せよ．

　国立 岡山大学 2010年 第2問

次の条件で定められる数列{an}を考える．
a1=1,a2=3,a_{n+2}=an+a_{n+1}(n=1,2,3,・・・)
(1)すべての自然数nに対して
X(\begin{array}{cc}
an&a_{n+1}\\
a_{n+1}&a_{n+2}
\end{array})=(\begin{array}{cc}
a_{n+1}&a_{n+2}\\
a_{n+2}&a_{n+3}
\end{array})
が成り立つように，行列Xを定めよ．
(2)自然数nに対してana_{n+2}-(a_{n+1})2の値を推測して，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．

　国立 岩手大学 2010年 第5問

点Oを原点とする座標平面上の点Pn(n=1,2,3,・・・)の座標を(xn,yn)とする．行列(\begin{array}{cc}
-1&2\\
-1&1
\end{array})で表される移動により，点Pnが点P_{n+1}に移るとき，次の問いに答えよ．
(1)点P_{n+1}の座標を，xn,ynを用いて表せ．
(2)(x1,y1)=(2,1)とする．すべてのn=1,2,3,・・・に対して，
(xn,yn)=(2sin\frac{nπ}{2},sin\frac{nπ}{2}+cos\frac{nπ}{2})
が・・・

　国立 琉球大学 2010年 第1問

行列A=\biggl(\begin{array}{rr}
3&1\\
-1&1
\end{array}\biggr),P=\biggl(\begin{array}{rr}
1&0\\
-1&1
\end{array}\biggr)に対して以下の問いに答えよ．
(1)U=P^{-1}APとする．Uを求めよ．
(2)nを自然数とする．Unを推測し，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．
(3)Anを求めよ．

　国立 徳島大学 2010年 第2問

数列{an}がa1=1,a_{n+1}=1/2(an+\frac{3}{an})(n=1,2,3,・・・)で定められるとき，次の問いに答えよ．
(1)0＜a2-√3＜1/2を示せ．
(2)nが2以上の自然数であるとき，不等式0＜an-√3＜(1/2)^{n-1}を数学的帰納法によって証明せよ．
(3)数列{an}の極限値を求めよ．

　国立 三重大学 2010年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)p,q,r,sを整数とする．このときp+q√2=r+s√2が成り立つならば，p=rかつq=sとなることを示せ．ここで√2が無理数であることは使ってよい．
(2)自然数nに対し，(3+2√2)n=an+bn√2を満たす整数an,bnが存在することを数学的帰納法により示せ．
(3)an,bnを(2)のものとする．このときすべての自然数nについて(x,y)=(an,bn)は方程式x2-2y2=1の解であることを数学的帰納法により示せ．