「整式」について

　国立 京都大学 2013年 第3問

nとkを自然数とし，整式xnを整式(x-k)(x-k-1)で割った余りをax+bとする．
(1)aとbは整式であることを示せ．
(2)aとbをともに割り切る素数は存在しないことを示せ．

　国立 富山大学 2013年 第1問

3次関数f(x)は，次の2つの条件を満たすとする．
(i)関数f(x)は，x=1とx=2で極値をもつ
(ii)整式f(x)をx2-3x+1で割った余りは-x+2である．
このとき，次の問いに答えよ．
(1)f(x)を求めよ．
(2)方程式f(x)=0を解け．
(3)関数f(x)の増減を調べ，そのグラフをかけ．

　国立 愛知教育大学 2013年 第3問

nを正の整数とし，整式P(x)=x^{3n}+(3n-2)x^{2n}+(2n-3)xn-n2を考える．以下の問いに答えよ．
(1)P(x)をx2-1で割った余りを求めよ．
(2)P(x)がx2-1で割り切れるようなnの値をすべて求めよ．

　国立 宮崎大学 2013年 第2問

3次の整式P(x)は，次の条件(i),(ii),(iii)を満たしている．
(i)P(x)のx3の係数は1である．
(ii)P(x)は(x-1)2で割り切れる．
(iii)P(x)をx+1で割った余りと，x2-x-2で割った余りは等しい．
このとき，次の各問に答えよ．
(1)P(x)を求めよ．
(2){P(x)}2を(x+1)2で割った余りを求めよ．

　私立 南山大学 2013年 第1問

[]の中に答を入れよ．
(1)xの整式x3+3mx2+2(m2-1)x-4が(x+2)2で割り切れるとする．このとき，mの値はm=[ア]であり，商は[イ]である．
(2)行列A=(\begin{array}{cc}
x+1&2\
-5&y-2
\end{array})がある．A2=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})を満たすとき，xとyの値を求めると(x,y)=[ウ]である．また，Aが逆行列をもたないような2つの正の整数xとyの値を求めると(x,y)=[エ]で・・・

　私立 学習院大学 2013年 第3問

条件
\begin{array}{l}
f1(x)=x3-2x2+1\
fn(x)=xf_{n-1}^{\prime}(x)+f_{n-1}(x)(n=2,3,4,・・・)
\end{array}
によって定まる整式fn(x)を求めよ．ただし，f_{n-1}^{\prime}(x)はf_{n-1}(x)の導関数である．

　私立 星薬科大学 2013年 第5問

xの整式f(x)とg(x)が
f(x)=x∫01g(t)dt+∫_{-1}1g(t)dt+1,g(x)=∫0xf(t)dt
を満たすとき，
f(x)=\frac{[]}{[]}x+\frac{[]}{[]},g(x)=\frac{[]}{[]}x2+\frac{[]}{[]}x
である．さらに，方程式f(x)-g(x)=0の2つの解をα,β(α＜β)とすると，
∫_α^β{f(x)-g(x)}dx=\frac{[][]\sqrt{[][]}}{[][]}，
・・・

　私立 神戸薬科大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)7^{2013}の1の位の数字は[]である．
(2)a,bを定数とする．整式P(x)=x3+2x2+ax+bはx-2で割り切れるが，x+3で割ると5余る．このときa=[]，b=[]である．
(3)x2y+y2z+z2x+xy2+yz2+zx2+3xyzを因数分解すると[]である．

　私立 産業医科大学 2013年 第1問

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1)100円，50円，10円の硬貨がそれぞれたくさんあるとする．ある品物を買うのに2300円かかるとき，このお金による支払い方の総数は[]である．
(2)整式P(x)をx2-4x+3で割ったときの余りはx+1であり，x2-3x+2で割ったときの余りは3x-1である．P(x)をx3-6x2+11x-6で割ったときの余りは[]である．
(3)数列の極限\lim_{n→∞}\frac{Σ_{k=1}^{2n}(k+n)2}{Σ_{k=1}^{2n}k2}の値は\kakko・・・

　私立 早稲田大学 2013年 第1問

次の[]にあてはまる数または数式を記入せよ．
(1)a,bは定数で，xについての整式x3+ax+bは{(x+1)}2で割り切れるとする．このとき，a=[]，b=[]である．
(2)5個の自然数の組(a1,a2,a3,a4,a5)で，
a1=1,an+1≦a_{n+1}≦an+2(n=1,2,3,4)
を満たすものは全部で[]組ある．
(3)3次関数f(x)はx=1とx=2で極値をとり，曲線y=f(x)と曲線y=\frac{3x}{2\sqrt{x2+1}}+1は点(0,1)において共通の・・・