「整式」について

　公立 滋賀県立大学 2013年 第2問

a,b,c,p,qを実数とし，整式f(x)=x4+ax3+bx2+cx-1を整式g(x)=x3+px2+qx+2で割った余りはx2+1であるとする．
(1)f(x)=0とg(x)=0は実数の範囲に共通の解をもたないことを示せ．
(2)f(x)=0とg(x)=0が共通の解をもつとき，f(x)とg(x)を求めよ．

　国立 名古屋工業大学 2012年 第3問

a,bは定数でa≠0とする．自然数nに対して，整式(ax+b)nをx2+1で割った余りをanx+bnと表し，
In=∫01\frac{(ax+b)n}{x2+1}dx
とおく．
(1)行列Aは，すべてのnに対して，
\biggl(\begin{array}{c}
a_{n+1}\\
b_{n+1}
\end{array}\biggr)=A\biggl(\begin{array}{c}
a_{n}\\
b_{n}
\end{array}\biggr)
を満たす．行列Aを求めよ．
(2)(1)で求めた行列Aに対し，
A2+pA+qE=O
となる定数p,qをa,bを用いて表せ．ただし，Eは単位行列，Oは零行・・・

　国立 東京海洋大学 2012年 第2問

xの整式fn(x)(n=0,1,2,・・・)を
{\begin{array}{l}
f0(x)=1,f1(x)=x,\\
f_{n+1}(x)=2xfn(x)-f_{n-1}(x)(n=1,2,・・・)\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}.
で定める．
(1)方程式f5(x)=0を解け．
(2)fn(cosθ)=cosnθ(n=2,3,4,5)を示せ．
(3)cosπ/10,cos\frac{3π}{10},cos\frac{7π}{10},cos\frac{9π}{10}の値を求めよ．

　私立 慶應義塾大学 2012年 第1問

f(x),g(x)をxの整式とする．これらが
f(x)=2x+∫01g(t)dt
g(x)=x2∫01f(t)dt+2
を満たすとき，
f(x)=[(1)]x+\frac{[(2)]}{[(3)]}
g(x)=\frac{[(4)]}{[(5)]}x2+[(6)]x+[(7)]
となる．さらに，
∫_{-1}2{f(t)+2g(t)}dt=\frac{[(8)][(9)][(10)]}{[(11)]}
∫02f(t)g^{\prime}(t)dt=[(12)][(13)][(14)]
である．

　私立 立教大学 2012年 第1問

次の空欄ア～サに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)x=\frac{√5-1}{√5+1},y=\frac{√5+1}{√5-1}のとき，x3+y3の値は[ア]である．
(2)互いに異なる定数a,b,cが\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}を満たすとき，\frac{(b+c)(c+a)(a+b)}{abc}のとる値は[イ]である．ただし，abc≠0とする．
(3)白玉3個と黒玉3個が入っている袋から玉を1個取り出し，色を調べてもとに戻す．この試行を3回繰・・・

　私立 立教大学 2012年 第1問

次の空欄ア～キに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)0≦θ＜πの範囲で，cos2θ+2√3sinθcosθ-sin2θの最小値は[ア]であり，そのときのθの値は[イ]である．
(2)\frac{ax-a^{-x}}{2}=1のとき，x=logayと表せば，y=[ウ]である．ただし，a＞0，a≠1とする．
(3)さいころを3回投げ，出た目を順に，百の位，十の位，一の位にして3桁の自然数をつくる．このとき，この自然数が6で割り切れ，さらに桁の並・・・

　私立 南山大学 2012年 第1問

[]の中に答を入れよ．
(1)3次の整式F(x)をx2-3x+2で割ると，余りは-3x-5である．これより，F(2)=[ア]である．このF(x)をx2+3x+2で割った余りが3x+7であるとき，F(0)=[イ]である．
(2)関数f(x)=\frac{9・10x}{(1+10x)2}を考える．f(x)≧2となるxの値の範囲は[ウ]である．また，等式f(-x)=\frac{a・10^{bx}}{(1+10x)2}がすべてのxについて成り立つように定数a,bの値を定めると(a,b)=[エ]である・・・

　私立 南山大学 2012年 第1問

[]の中に答を入れよ．
(1)(1/9)x-4(1/3)^{x-1}+27≦0を満たすxの範囲は[ア]であり，\
log2(log5(x+1)+log5(x+3))＜1を満たすxの範囲は[イ]である．
(2)整式P(x)を(x+1)(x-2)で割ると余りは2x+9，(x+1)(x+2)で割ると余りは-10x-3になる．このときP(x)を(x+1)(x-2)(x+2)で割ると，余りは[ウ]となる．また，P(x)を(x-2)(x+2)で割ると，余りは[エ]となる．
\mon・・・

　私立 青山学院大学 2012年 第4問

整式f(x)とその導関数f´(x)が
f(3)=19,f´(3)=10,f(-1)=11
を満たすとする．このとき，f(x)を(x-3)2(x+1)で割った余りを求めよ．

　私立 関西学院大学 2012年 第2問

次の文章中の[]に適する式または数値を記入せよ．
(1)a,bは実数とする．xについての整式
F(x)=x3+x2+ax+b
がx+3で割り切れるとすると，b=[ア]が成り立つ．ただし，[ア]はaの式である．b=[ア]を用いてF(x)の式からbを消去すると，F(x)=[イ]となる．整式[イ]をx+3で割ったときの商は[ウ]である．整式[ウ]が，さらにx+3で割り切れるとき，aの値はa=[エ]である．よって，整式F(x)が(x+3)2で割り切れるとき，aとb・・・