「整式」について

　私立 千葉工業大学 2012年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)\frac{3√5-√3}{√5-√3}=[ア]+\sqrt{[イウ]}である．
(2)整式x3-4x2+7x+1をx2-3x+2で割った余りは[エ]x+[オ]である．
(3)3^{2x}≦\frac{9}{{27}x}をみたすxの範囲はx≦\frac{[カ]}{[キ]}である．
(4)直線2x+3y+5=0と点(-4,1)において垂直に交わる直線の方程式はy=\frac{[ク]}{[ケ]}x+[コ]である．
(5)円x2+y・・・

　私立 中央大学 2012年 第4問

関数f(x)の第n次導関数を\frac{dn}{dxn}f(x)で表す．いま，自然数nに対して関数Hn(x)を次で定義する．
Hn(x)=(-1)ne^{x2}\frac{dn}{dxn}e^{-x2}
以下の問いに答えよ．
(1)H1(x),H2(x),H3(x)を求めよ．
(2)導関数d/dxHn(x)をHn(x)とH_{n+1}(x)を用いて表せ．さらに，nに関する数学的帰納法によりHn(x)がn次多項式（整式）であることを証明せよ．
(3)n≧3のとき，定積分
Sn(a)=∫0axHn(x)e^{-x2}dx・・・

　公立 奈良県立医科大学 2012年 第4問

整数mが与えられたとき，xに関する整数係数の2つの整式f(x)，g(x)が関係式
f(x)\equivg(x)±odm
を満たすとは，等式f(x)-g(x)=mh(x)を満たすような整数係数の整式h(x)が存在することである．
(1)f(x),g(x),F(x),G(x)を整数係数の整式とする．もし，ある整数mについて関係式f(x)\equivg(x)±odm，かつF(x)\equivG(x)±odmが満たされるならば，関係式f(x)+F(x)\equivg(x)+G(x)±odm，かつf(x)F(x)\equivg(x)G(x)±odmが満たされることを証明せよ．
(2)正整・・・

　国立 神戸大学 2011年 第4問

aは正の無理数で，a3+3a2-14a+6,Y=a2-2aを考えると，XとYはともに有理数である．以下の問に答えよ．
(1)整式x3+3x2-14x+6を整式x2-2xで割ったときの商と余りを求めよ．
(2)XとYの値を求めよ．
(3)aの値を求めよ．ただし，素数の平方根は無理数であることを用いてよい．

　国立 防衛医科大学校 2011年 第1問

以下の問に答えよ．
(1)a,b,cは正の整数で，a＜b＜c,a+b＜cを満たすものとする．このとき整式ax2-(a2+ab)x+a2b-174がx-cで割り切れるような(a,b,c)の組があればすべて求めよ．
(2)α=1+√3i,β=1-√3iのとき
(\frac{β2-4β+8}{α^{n+2}-α^{n+1}+2αn+4α^{n-1}+α3-2α2+5α-2})3
はいくらか．ただし，nは2以上の自然数，iは虚数単位とする．
(3)y=cosx(0≦x≦π)の逆関数をy=f(x)とお・・・

　国立 宇都宮大学 2011年 第4問

関数f(x)はf(0)=bをみたし，その導関数は
f´(x)=(x-1)(x-a)
であるとする．ただし，aとbは定数である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線y=f(x)上の点(0,b)における接線の方程式を求めよ．
(2)f(x)をxの整式で表せ．
(3)f(x)の極大値が40，極小値が4であるとき，定数aとbの値を求めよ．

　国立 滋賀医科大学 2011年 第3問

文字x,y,zの任意の整式Aに対して，x,y,zをそれぞれsinθ,cosθ,tanθに置き換えて得られるθの関数を\widetilde{A}(θ)で表す．例えば，
\begin{array}{lll}
P=x5+z4-xyz&　ならば　&\widetilde{P}(θ)=sin5θ+tan4θ-sinθcosθtanθ,\\
P=x2+y2,Q=1&　ならば　&\widetilde{P}(θ)=sin2θ+cos2θ=1=\widetilde{Q}(θ)
\end{array}
である．ただしθの関数の定義域は0≦・・・

　私立 金沢工業大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)x=√3+√2のとき，x+1/x=[ア]\sqrt{[イ]}，x3+\frac{1}{x3}=[ウエ]\sqrt{[オ]}である．
(2)(2a+1)(2a-1)(a2-a+4)の展開式におけるa2の項の係数は[カキ]である．
(3)整式A=x2-2xy+3y2，B=2x2+3y2，C=x2-2xyについて
2(A-B)-{C-(3A-B)}=[クケ]x2-[コ]xy+[サ]y2
である．
(4)方程式x2+3kx+k2+5k=0が重解をもつような定数kの値は[シ]，\ka・・・

　私立 青森中央学院大学 2011年 第1問

整式x3+ax2+bx+4(a,b　は実数　)が整式x2+x-2で割り切れるとき，abの値を求めよ．

　私立 自治医科大学 2011年 第1問

整式x3+ax2+bx+4（a,bは実数）が整式x2+x-2で割り切れるとき，abの値を求めよ．