「整式」について

　国立 東京学芸大学 2010年 第4問

関数f(x)=\frac{x2}{1+ex}について下の問いに答えよ．
(1)f(x)がただ1つの極大値をもつことを示せ．また，そのときのxの値をαとするとき，f(α)をαの整式で表せ．
(2)f(α)＜1を示せ．

　国立 福島大学 2010年 第1問

以下の問いに答えなさい．
(1)自然数nに対して，S(n)=Σ_{k=1}^{12n+3}k2,T(n)=Σ_{k=1}^{12n+3}(2k-1)とおくときS(n)-T(n)が正の奇数となることを証明しなさい．
(2)関数f(x)が次の関係を満たすものとする．
∫_{-u}0t{d/dtf(t+u)}dt=-e^{-u}cosu+uf(0)-u+1
このとき，z=t+uという置き換えを利用して∫0uf(z)dzを求めなさい．
(3)整式P1(x)は，x2-(a+1)x+aで割ると2x+b余り，整式P2(x)は，x2-(b-2)x-2bで割る・・・

　国立 茨城大学 2010年 第1問

以下の各問に答えよ．
(1)nを3以上の自然数とする．整式xnをx2-4x+3で割ったときの余りを求めよ．
(2)数列
1,1+3+1,1+3+9+3+1,1+3+9+27+9+3+1,・・・
の第n項から第2n項までの和を求めよ．ただし，nは自然数とする．
(3)微分可能な関数f(x)がf(0)=0かつf´(0)=πを満たすとき，次の極限値を求めよ．
\lim_{θ→0}\frac{f(1-cos2θ)}{θ2}

　国立 山梨大学 2010年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)log2(x2-2)-log2(2x+1)≦0を満たす実数xの値の範囲を求めよ．
(2)円(x-2)2+(y-3)2=25上に中心を持ち，x軸とy軸のいずれにも接する円の方程式をすべて求めよ．
(3)整式P(x)は(x-1)2で割ると5x-7余り，x-2で割ると10余る．P(x)を(x-1)2(x-2)で割ったときの余りを求めよ．

　私立 早稲田大学 2010年 第1問

2つの整式
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&x3+3x2+mx+3\\
g(x)&=&x3+mx2+(m+3)x+4
\end{eqnarray*}
を考える．ただし，mは整数の定数とする．2つの方程式f(x)=0，g(x)=0が共通の整数の解nをもつとき，次の問に答えよ．
(1)方程式f(x)=0の解をすべて求めよ．
(2)関数y=g(x)の極値およびそのときのxの値を求めよ．
(3)2つの曲線y=f(x),y=g(x)で囲まれた図形の面積Sを求めよ．

　私立 南山大学 2010年 第1問

[]の中に答を入れよ．
(1)不等式log2(x2-3x+6)＞1+log2xを満たすxの範囲は[ア]と[イ]である．
(2)実数係数の3次方程式x3-4x2+ax-8=0が，解1+bi（bは正の実数）をもつとき，a=[ウ]，b=[エ]である．
(3)∠Bが直角の直角三角形ABCにおいて，∠Aの大きさを15°，ACの長さをbとする．この三角形の面積をbで表すと[オ]であり，BCの長さは[カ]である．
(4)円x2+y2=1の上を動・・・

　公立 首都大学東京 2010年 第3問

実数a,b,c,dに対しxの3次の整式P(x)=ax3+bx2+cx+dを考える．ただし，ad≠0とする．方程式P(x)=0の3つの解をα,β,γとするとP(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ)であることが知られている．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)積αβγ，和α+β+γ，1/α+1/β+1/γを，それぞれa,b,c,dを用いて表しなさい．
(2)もしαが実数でないならば，方程式P(x)=・・・

　公立 兵庫県立大学 2010年 第1問

整式P=4x4y+4x2y3+4x3y2+4xy4を因数分解しなさい．また，x=\frac{3+√5}{2},y=\frac{3-√5}{2}のとき，Pの値を求めなさい．