「整数」について

　国立 埼玉大学 2014年 第2問

xy平面の格子点上に駒「銀」が1枚ある．ただし，格子点とはx座標とy座標がともに整数となる点である．1回の操作で，次の(a)，(b)，(c)，(d)，(e)のいずれか1つを等しい確率で選び，駒「銀」を移動させるものとする（下図参照）．
(a)(x,y)から(x,y+1)に移動させる．
(b)(x,y)から(x+1,y+1)に移動させる．
(c)(x,y)から(x-1,y+1)に移動させる．
(d)(x,y)・・・

　国立 埼玉大学 2014年 第1問

正の整数nに対して，半径1の円に内接する正4n角形の面積をSnとし，外接する正4n角形の面積をTnとする．このとき，Sn＞0.95Tnとなる最小の数nを求めよ．

　国立 名古屋大学 2014年 第3問

xy平面のy≧0の部分にあり，x軸に接する円の列C1,C2,C3,・・・を次のように定める．
\begin{itemize}
C1とC2は半径1の円で，互いに外接する．
正の整数nに対し，C_{n+2}はCnとC_{n+1}に外接し，CnとC_{n+1}の弧およびx軸で囲まれる部分にある．
\end{itemize}
円Cnの半径をrnとする．
(1)等式\frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}}=\frac{1}{\sqrt{rn}}+\frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}}を示せ．
(2)すべての正の整数nに対して\display・・・

　国立 名古屋大学 2014年 第4問

負でない整数Nが与えられたとき，a1=N，a_{n+1}=[\frac{an}{2}](n=1,2,3,・・・)として数列{an}を定める．ただし[a]は，実数aの整数部分（k≦a＜k+1となる整数k）を表す．
(1)a3=1となるようなNをすべて求めよ．
(2)0≦N＜2^{10}をみたす整数Nのうちで，Nから定まる数列{an}のある項が2となるようなものはいくつあるか．
(3)0から2^{100}-1までの2^{100}個の整数から等しい確率でNを選び，数列{an}を定める．次の・・・

　国立 名古屋大学 2014年 第2問

大小合わせて2個のサイコロがある．サイコロを投げると，1から6までの整数の目が等しい確率で出るとする．
(1)2個のサイコロを同時に投げる．出た目の差の絶対値について，その期待値を求めよ．
(2)2個のサイコロを同時に投げ，出た目が異なるときはそこで終了する．出た目が同じときには小さいサイコロをもう一度だけ投げて終了する．終了時に出ている目の差の絶対値について，その期待値を求めよ．

　国立 東京工業大学 2014年 第1問

3以上の奇数nに対して，anとbnを次のように定める．
an=1/6Σ_{k=1}^{n-1}(k-1)k(k+1),bn=\frac{n2-1}{8}
(1)anとbnはどちらも整数であることを示せ．
(2)an-bnは4の倍数であることを示せ．

　国立 千葉大学 2014年 第1問

袋の中に，赤玉が3個，白玉が7個が入っている．袋から玉を無作為に1つ取り出し，色を確認してから，再び袋に戻すという試行を行う．この試行をN回繰り返したときに，赤玉をA回（ただし0≦A≦N）取り出す確率をp(N,A)とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)確率p(N,A)をNとAを用いて表せ．
(2)Nが10の倍数，すなわちN=10nとなる自然数nがあるとする．確率p(10n,0)，p(10n,1)，・・・，p(10n,10n)のうち，一番大きな値はp(10n,3n)であることを次の手順に・・・

　国立 千葉大学 2014年 第4問

n,mを0以上の整数とし，
I_{n,m}=∫0^{π/2}cosnθsinmθdθ
とおく．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)n≧2のとき，I_{n,m}をI_{n-2,m+2}を使って表せ．
(2)次の式
I_{2n+1,2m+1}=1/2∫01xn(1-x)mdx
を示せ．
(3)次の式
\frac{n!m!}{(n+m+1)!}=\frac{\comb{m}{0}}{n+1}-\frac{\comb{m}{1}}{n+2}+・・・+(-1)m\frac{\comb{m}{m}}{n+m+1}
を示せ．ただし0!=1とする．

　国立 千葉大学 2014年 第6問

自然数nに対して，和
Sn=1+1/2+1/3+・・・+1/n
を考える．
(1)各自然数nに対して2k≦nをみたす最大の整数kをf(n)で表すとき，2つの奇数an,bnが存在して
Sn=\frac{an}{2^{f(n)}bn}
と表されることを示せ．
(2)n≧2のときSnは整数にならないことを示せ．
(3)さらに，自然数m,n(m＜n)に対して，和
S_{m,n}=1/m+\frac{1}{m+1}+・・・+1/n
を考える．S_{m,n}はどんなm,n(m＜n)に対しても整数にならな・・・

　国立 岡山大学 2014年 第1問

nを3以上の整数とし，a,b,cは1以上n以下の整数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)a＜b＜cとなるa,b,cの組は何通りあるか．
(2)a≦b≦cとなるa,b,cの組は何通りあるか．
(3)a＜bかつa≦cとなるa,b,cの組は何通りあるか．