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関数f(x)を
f(x)=[x]+2(x-[x])-(x-[x])2
と定める．ここで，[x]はn≦xを満たす最大の整数nを表す．
(1)f(x)≧xであることを示せ．
(2)f(x+1)=f(x)+1であることを示せ．
(3)0≦x≦2において，y=f(x)のグラフを描け．
(4)0≦a＜1とするとき，∫a^{a+1}f(x)dxを求めよ．
国立 東北大学 2014年 第5問整数nに対して，
In=∫_{π/4}^{π/2}\frac{cos((2n+1)x)}{sinx}dx
とする．
(1)I0を求めよ．
(2)nを正の整数とするとき，In-I_{n-1}を求めよ．
(3)I5を求めよ．
国立 埼玉大学 2014年 第2問xy平面の格子点上に駒「銀」が1枚ある．ただし，格子点とはx座標とy座標がともに整数となる点である．1回の操作で，次の(a)，(b)，(c)，(d)，(e)のいずれか1つを等しい確率で選び，駒「銀」を移動させるものとする（下図参照）．
(a)(x,y)から(x,y+1)に移動させる．
(b)(x,y)から(x+1,y+1)に移動させる．
(c)(x,y)から(x-1,y+1)に移動させる．
(d)(x,y)・・・
国立 新潟大学 2014年 第3問Aの箱には1から20までの整数が1つずつ書かれた20枚のカードが入っている．Bの箱には1から30までの整数が1つずつ書かれた30枚のカードが入っている．A，Bの箱から1枚ずつカードを取り出し，取り出した2枚のカードに書かれた整数の和をXとおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)Xが2の倍数となる確率を求めよ．
(2)Xが2の倍数であるが5の倍数でない確率を求めよ．
(3)Xが5の倍数となる確率を求めよ．
(4)Xが2の倍数にも5の倍数にもならな・・・
国立 信州大学 2014年 第4問次の各問いに答えよ．
(1)3つのベクトルベクトルa=(2,1,1)，ベクトルb=(2,s,t)，ベクトルc=(p,q,2)が次の条件をみたすような，s,t,p,qの値を求めよ．
(i)|ベクトルa|=|ベクトルb|
(ii)ベクトルaとベクトルbのなす角は60°
(iii)ベクトルcはベクトルaとベクトルbの両方に直交する．
(2)nを0以上の整数とする．n+1個の自然数20,21,・・・,2nの中に，最上位の桁の・・・
国立 岩手大学 2014年 第2問nを自然数とし，次の漸化式で2つの数列{an}，{bn}を定める．
a1=1,a2=1,a_{n+2}=2an(n=1,2,3,・・・)
b1=1,b2=1,b3=1,b_{n+3}=3bn(n=1,2,3,・・・)
以下の問いに答えよ．ただし，必要ならば，log_{10}2=0.3010，log_{10}3=0.4771を用いよ．
(1){an}と{bn}の最初の6項をそれぞれ求めよ．
(2)a_{n+6}=8anとなることを示せ．
(3)mを0以上の整数とするとき，a_{6m+1}とb_{6m+1}を・・・
国立 東京医科歯科大学 2014年 第1問自然数nに対し，3個の数字1,2,3から重複を許してn個並べたもの(x1,x2,・・・,xn)の全体の集合をSnとおく．Snの要素(x1,x2,・・・,xn)に対し，次の2つの条件を考える．
条件C_{12}：1≦i＜j≦nである整数i,jの組で，xi=1，xj=2を満たすものが少なくとも1つ存在する．
条件C_{123}：1≦i＜j＜k≦nである整数i,j,kの組で，xi=1，xj=2，xk=3を満たすものが少なくとも1つ存在する．
例えば，・・・
国立 福岡教育大学 2014年 第2問正六角形ABCDEFにおいて，辺DEの中点をPとし，線分APとBFの交点をQとする．次の問いに答えよ．
(1)ベクトルAPをベクトルABとベクトルAFを用いて表せ．
(2)AQ:QPを最も簡単な整数の比で表せ．
(3)|ベクトルAB|=1のとき，△BPQの面積を求めよ．
国立 福岡教育大学 2014年 第2問平面上に△OABと点Pがあり，実数k,m,nに対して
kベクトルPO+mベクトルPA+nベクトルPB=ベクトル0
が成り立つとする．次の問いに答えよ．
(1)k=4，m=1，n=2のとき，△POA，△POB，△PABの面積比を最も簡単な整数の比で表せ．
(2)kを0以上の定数とする．点Pがm≧0，n≧0，m+n=3を満たしながら動くとき，点Pの軌跡は線分になることを示せ．
(3)点Pがk≧1，m≧0，n・・・
国立 佐賀大学 2014年 第1問以下の問に答えよ．
(1)0以上の整数nに対して，2次方程式x2+2(n-5)x+n2-n=0が実数解をもつとする．このとき，nの値をすべて求めよ．
(2)二桁の自然数で，一の位の数と十の位の数の和の2乗がもとの二桁の自然数になるような数をすべて求めよ．
