「整数」について

　国立 琉球大学 2014年 第2問

a,b,c,dはa+d=0，ad-bc=1をみたす実数とし，A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})，E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})とする．次の問いに答えよ．
(1)A2=-Eを示せ．
(2)p,qは実数でp2+q2≠0をみたすとする．実数x,yに対して(pA+qE)(xA+yE)=Eが成り立つとき，x,yをp,qで表せ．
(3)θを実数とする．すべての正の整数nに対して
{(cosθ)E+(sinθ)A}n=(cosnθ)E+(sinn\the・・・

　国立 琉球大学 2014年 第3問

整数m,nはm≧1，n≧2をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1)x＞0のとき，y=logxの第1次導関数y´と第2次導関数y^{\prime\prime}を求めよ．
(2)座標平面上の3点A(m,logm)，B(m+1,logm)，C(m+1,log(m+1))を頂点とする三角形の面積をSmとする．Smをmを用いて表せ．
(3)f(m)=logm+Sm-∫m^{m+1}logxdxとおく．f(m)＜0が成り立つことを，y=logxのグラフを用いて説明せよ．
(4)f(1)+f(2)+・・・+f・・・

　国立 琉球大学 2014年 第4問

1個のさいころを繰り返し投げて景品を当てるゲームを行う．景品はAとBの2種類あり，次の規則にしたがって景品をもらえるとする．
\begin{itemize}
出た目の数が6のときは，景品Aをもらえる．
出た目の数が4,5のときは，景品Bをもらえる．
出た目の数が1,2,3のときは，景品はもらえない．
景品Aと景品Bの2種類とももらうことができたらゲームは終了する．
\end{itemize}
ちょうどn回さいころを投げ終わったところでゲームが終了する確率をpn・・・

　国立 弘前大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)a+b+c+d=10を満たす自然数a,b,c,dの組の総数を求めよ．
(2)|a|+|b|+|c|+|d|=10を満たし，どれも0とはならない整数a,b,c,dの組の総数を求めよ．
(3)|a|+|b|+|c|+|d|=10を満たす整数a,b,c,dの組の総数を求めよ．

　国立 三重大学 2014年 第5問

実数aに対して，下の4つの条件p,q,r,sを考える．ただし，実数kに対して，[k]はk以下の最大の整数を表し，\langlek\rangleはk以上の最小の整数を表すとする．たとえば，k=2.15のとき，[k]=2であり，\langlek\rangle=3である．また，|k|はkの絶対値を表す．
p:x2+4x+a2=0を満たす実数xが存在する．
q:[a]＜\langlea\rangle
r:|a-1.5|＜\frac{1}{|a-1.5|+1.5}
s:0＜a＜π，かつ，sin\lef・・・

　国立 岐阜大学 2014年 第5問

nを正の整数とし，x≧0とする．以下の問に答えよ．
(1)rn(x)=ex-(1+x+1/2!x2+・・・+1/n!xn)とする．rn(x)≧0をnに関する数学的帰納法を使って示せ．
(2)\lim_{x→∞}xne^{-x}=0を示せ．
(3)t≧0とし，f(t)=∫0txne^{-x}dxとする．\lim_{t→∞}f(t)を求めよ．

　国立 富山大学 2014年 第1問

次の条件(i)，(ii)，(iii)を同時に満たす整数の組(x,y)をすべて求めよ．
(i)yはxの整数倍である
(ii)x≧2
(iii)x2+6!=y2

　国立 富山大学 2014年 第1問

次の条件(i)，(ii)，(iii)を同時に満たす整数の組(x,y)をすべて求めよ．
(i)yはxの整数倍である
(ii)x≧2
(iii)x2+6!=y2

　国立 山梨大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)標高376mの地点から富士山に登りはじめた．一般に，2地点の大気圧の比はその2地点の高度差の指数関数である．この日の大気圧は，高度が850m上昇するごとに10%ずつ減少していた．登りはじめた地点の大気圧は990hPaであった．この日の富士山の山頂3776mでの大気圧は何hPaか．答は小数第1位を四捨五入し，整数で答えよ．
(2)ある店において，原価が200円，定価が350円の商品Aの1日の売り上げ総数をNとする．\・・・

　国立 岐阜大学 2014年 第5問

数列{an}を
a1=3/4,a_{n+1}=1-\frac{1}{4an}(n=1,2,3,・・・)
で定める．以下の問に答えよ．
(1)a2,a3,a4,a5,a6を求めよ．また，それより一般項anを推定せよ．
(2)数学的帰納法により，(1)の一般項の推定が正しいことを証明せよ．
(3)nを正の整数とする．すべての実数xに対して，不等式
anx2+x+1≧a_{n+1}
が成り立つことを示せ．
(4)nを正の整数とする．すべての実数xに対して，不等式
x^{2n}+x^{2n-1}+x^{2n-2}+・・・+x2+・・・