「整数」について

　国立 防衛医科大学校 2014年 第1問

以下の問に答えよ．
(1)[1/3x+1]=[2x-1]を満たす実数xの範囲を求めよ．ここで，[x]はxを超えない最大の整数である．
(2)△ABCと，ベクトルMA+ベクトルMB+kベクトルMC=ベクトル0(k＞0)を満たす点Mが存在する．点Aと点Mを通る直線と辺BCの交点をNとする．3/4ベクトルBC=ベクトルBNのとき，kはいくらか．
(3)初項が正の数である等比数列{an}(n=1,2,3,・・・)が，漸化式・・・

　国立 群馬大学 2014年 第1問

a1,a2,a3,b1,b2,b3をそれぞれ1から9までの整数とし，a1,a2,a3,b1,b2,b3の中に同じ数がいくつあってもよいとする．[a1a2a3]は3桁の整数a1×100+a2×10+a3×1を表し，[b1b2b3]は3桁の整数b1×100+b2×10+b3×1を表し，[b1b2b326]は5桁の整数b1×10000+b2×1000+b3×100+2×10+6×1を表すとする．p,q,rを次の条件とする．
p:[a1a2a3]-1は50で割り切れる．・・・

　国立 小樽商科大学 2014年 第1問

次の[]の中を適当に補いなさい．
(1)1回の操作で溶液の不純物の25%を除去出来る装置で不純物を除去するとき，この操作を複数回行い，元の不純物の98%以上を除去するには，最低何回以上この操作をする必要があるかを求めると[]回以上．ただし，log_{10}2=0.3010，log_{10}3=0.4771とする．
(2)中心が(0,1)で半径1の円がある．下図のように，この円の直径ABと原点O(0,0)と，x軸上の点C(1,0)をとる．∠AOC={60}°とする．点\t・・・

　国立 群馬大学 2014年 第1問

a1,a2,a3,b1,b2,b3をそれぞれ1から9までの整数とし，a1,a2,a3,b1,b2,b3の中に同じ数がいくつあってもよいとする．[a1a2a3]は3桁の整数a1×100+a2×10+a3×1を表し，[b1b2b3]は3桁の整数b1×100+b2×10+b3×1を表し，[b1b2b326]は5桁の整数b1×10000+b2×1000+b3×100+2×10+6×1を表すとする．p,q,rを次の条件とする．
p:[a1a2a3]-1は50で割り切れる．・・・

　国立 群馬大学 2014年 第1問

a1,a2,a3,b1,b2,b3をそれぞれ1から9までの整数とし，a1,a2,a3,b1,b2,b3の中に同じ数がいくつあってもよいとする．[a1a2a3]は3桁の整数a1×100+a2×10+a3×1を表し，[b1b2b3]は3桁の整数b1×100+b2×10+b3×1を表し，[b1b2b326]は5桁の整数b1×10000+b2×1000+b3×100+2×10+6×1を表すとする．p,q,rを次の条件とする．
p:[a1a2a3]-1は50で割り切れる．・・・

　国立 群馬大学 2014年 第1問

a1,a2,a3,b1,b2,b3をそれぞれ1から9までの整数とし，a1,a2,a3,b1,b2,b3の中に同じ数がいくつあってもよいとする．[a1a2a3]は3桁の整数a1×100+a2×10+a3×1を表し，[b1b2b3]は3桁の整数b1×100+b2×10+b3×1を表し，[b1b2b326]は5桁の整数b1×10000+b2×1000+b3×100+2×10+6×1を表すとする．p,q,rを次の条件とする．
p:[a1a2a3]-1は50で割り切れる．・・・

　国立 高知大学 2014年 第4問

kは1以上の整数であるとする．連続した整数が書かれた2k-1枚のカードが1組あり，その中に無作為に選ばれた当たりが一枚だけ含まれているとする．次のようなルールで当たりのカードにたどりつくことを考える．
(i)カードのうち，ちょうど真ん中の整数の書かれたカードをひく．それが当たりなら終了する．
(ii)ハズレならば，真ん中の整数より大きいカードの組と小さいカードの組に分ける．
(iii)当たりのカードの含まれた組を教えてもらい，その組に対して，(i)・・・

　国立 九州工業大学 2014年 第4問

点Pは次の①，②，③の規則に従って数直線上を動く．
\mon[①]時刻0で，Pは整数座標点0から10のいずれかの位置i(0≦i≦10)にある．
\mon[②]時刻t(t=0,1,2,・・・)に位置i(1≦i≦9)にあるPは，t+1には確率p(0＜p＜1/2)で位置i+1に，確率1-pで位置i-1に移動する．
\mon[③]時刻tに位置0または10にあるPは，t+1にもその位・・・

　国立 秋田大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)次の式を，実数の範囲で因数分解せよ．
6(x+3)(x+4)(x+6)(x+8)-(x+1)(x+2)(x+12)(x+24)
(2)nを自然数，A,Bを整数とする．多項式x^{2n}-4x8+Ax+Bがx2-x+1で割り切れるように，A,Bの値を定めよ．

　国立 秋田大学 2014年 第2問

0以上の整数nに対して，
gn(x)=e^{-n}(x-n)(n+1-x)
とおく．次の問いに答えよ．
(1)n≦x≦n+1において，曲線y=gn(x)上の点(α,gn(α))における接線の傾きが-gn(α)となるαを求めよ．
(2)f(x)=ce^{-x}(c＞0)とおく．曲線y=f(x)が曲線y=gn(x)と共有点をもち，その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するようなcを求めよ．
(3)曲線y=gn(x)と(2)で求めた曲線y=f(x)の共有点をPnとし，点Pnにおけるy=f(x)の接線をℓn・・・