「整数」について

　国立 福井大学 2014年 第3問

行列A=1/4(\begin{array}{cc}
5&3\
3&5
\end{array})に関して，以下の問いに答えよ．
(1)次の等式が成り立つようなcosθ，sinθ，a，bを求めよ．ただし，0≦θ≦π/2とする．
A(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})=(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})・・・

　国立 福井大学 2014年 第4問

以下の問いに答えよ．
(1)nを正の整数として，以下の問いに答えよ．ただし，自然対数の底eは無理数であることを証明せずに用いてよい．
(i)等式∫01tnetdt=ane+bnが成り立つ整数an，bnがただ1組存在することを示せ．
(ii)a_{n+1}bn-anb_{n+1}の値を求めよ．
(2)区間[0,π/2]で連続な関数f(x)に対し，等式∫0^{π/2}f(x)dx=\in・・・

　国立 福井大学 2014年 第2問

1から7までの数を1つずつ書いた7個の玉が，袋の中に入っている．袋から玉を1個取り出し，書かれている数を記録して袋に戻す．この試行をn回繰り返して得られるn個の数の和が4の倍数となる確率をpnとする．ただし，nは正の整数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)p1とp2を求めよ．
(2)p_{n+1}をpnの式で表せ．
(3)pnを求めよ．また極限値\lim_{n→∞}pnを求めよ．

　国立 浜松医科大学 2014年 第3問

以下の問いに答えよ．
(1)rは自然数，nはrより大きい整数とする．2項係数\comb{k+r}{r}(k=0,1,・・・,n-r)の次の等式を示せ．
Σ_{k=0}^{n-r}\comb{k+r}{r}=\comb{n+1}{r+1}
以下整数n(n≧2)に対し，次の確率分布に従う確率変数Xを考える．
P(X=k)=\frac{\comb{k+1}{1}}{\comb{n+1}{2}}(k=0,1,・・・,n-1)
(2)Xの期待値\mun=E(X)を求めよ．また，P(X≧m)≧1/2を満たす最大の整数mをMnとするとき，極限値\d・・・

　国立 奈良教育大学 2014年 第5問

nを正の整数とする．次の命題を証明せよ．
(1)n2が奇数ならば，nは奇数である．
(2)n3が5で割り切れるならば，nは5で割り切れる．

　国立 和歌山大学 2014年 第4問

箱の中に，1から4までの整数が1つずつ重複せずに書かれた4枚のカードが入っている．この箱から2枚のカードを同時に取り出し，書かれた整数のうち，小さい方をa，大きい方をbとする．また，放物線C:y=x2上の点(a,a2)における接線をℓとし，ℓに平行で点(b,b2)を通る直線をmとする．さらに，放物線Cと直線mで囲まれた部分の面積をSとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線mの方程式をa,bを用いて表せ．
(2)Sをa,bを用いて表せ．
(3)Sの期待値を求めよ．
・・・

　国立 山口大学 2014年 第3問

次の問いに答えなさい．
(1)2つの整数a,bが1+√2=a+b√2を満たすならば，a=b=1であることを示しなさい．ただし，√2が無理数であることは示さなくてよい．
(2)kを自然数とする．2つの整数a,bが(1+√2)^{k+1}=a+b√2を満たしているとき，(1+√2)k=a´+b´√2を満たす整数a´,b´をa,bを用いて表しなさい．
(3)すべての自然数nに対して，
命題「2つの整数a,bが(1+√2)n=a+b√2を満たしている・・・

　国立 茨城大学 2014年 第3問

A,Eはそれぞれ行列(\begin{array}{cc}
2&4\
1&-1
\end{array})，(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})を表す．以下の各問に答えよ．
(1)A(A+2E)=a1(A+2E)，A(A-3E)=b1(A-3E)となる数a1，b1を求めよ．
(2)各自然数nに対して
An(A+2E)=an(A+2E),An(A-3E)=bn(A-3E)
となる数an,bnを求めよ．
(3)各自然数nに対して，An=cnA+dnEとなる数cn,dnを求めよ．
(4)極限値\lim_{n→∞}\frac{d・・・

　国立 宮崎大学 2014年 第5問

座標平面において，x座標とy座標がともに整数である点を格子点という．nを自然数とし，放物線y=x2，直線x=nおよびx軸で囲まれた図形をSnとする．Snの境界上にある格子点の個数をanとし，Snの境界を除いた内部にある格子点の個数をbnとするとき，次の各問に答えよ．
(1)anを，nを用いて表せ．
(2)bnを，nを用いて表せ．
(3)Snの面積をcnとするとき，極限値\lim_{n→∞}1/n(\frac{an}{2}+bn-cn)を求めよ．

　国立 鳥取大学 2014年 第2問

実数a,b,θに対して，行列A,Rを以下のように定める．
A=(\begin{array}{cc}
a&-b\
b&a
\end{array}),R=(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})
またxy平面内の相異なる2点P0(px,py)およびQ0(qx,qy)を考える．0以上の整数nに対し，行列Anの表す1次変換による点P0，Q0の像をそれぞれPn，Qnとし，2点Pn，Qn間の距離をDn・・・