「整数」について

　国立 鳥取大学 2014年 第3問

1以上の整数p,qに対し，B(p,q)=∫01x^{p-1}(1-x)^{q-1}dxとおく．次の問いに答えよ．
(1)B(p,q)=B(q,p)が成り立つことを示せ．
(2)関係式
B(p,q+1)=q/pB(p+1,q)\qquadB(p+1,q)+B(p,q+1)=B(p,q)
が成り立つことを示せ．
(3)関係式
B(p+1,q)=\frac{p}{p+q}B(p,q)\qquadB(p,q+1)=\frac{q}{p+q}B(p,q)
が成り立つことを示せ．
(4)B(5,4)を求めよ．

　国立 鳥取大学 2014年 第2問

実数a,b,θに対して，行列A,Rを以下のように定める．
A=(\begin{array}{cc}
a&-b\
b&a
\end{array}),R=(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})
またxy平面内の相異なる2点P0(px,py)およびQ0(qx,qy)を考える．0以上の整数nに対し，行列Anの表す1次変換による点P0，Q0の像をそれぞれPn，Qnとし，2点Pn，Qn間の距離をDn・・・

　国立 鳥取大学 2014年 第3問

1以上の整数p,qに対し，B(p,q)=∫01x^{p-1}(1-x)^{q-1}dxとおく．次の問いに答えよ．
(1)B(p,q)=B(q,p)が成り立つことを示せ．
(2)関係式
B(p+1,q)=\frac{p}{p+q}B(p,q)\qquadB(p,q+1)=\frac{q}{p+q}B(p,q)
が成り立つことを示せ．
(3)B(5,4)を求めよ．

　国立 愛媛大学 2014年 第1問

nを0以上の整数とする．点P，Qは，1辺の長さが1である正四面体ABCDの頂点の上を，以下の条件(a)，(b)を満たしながら移動する．
\mon[(a)]時刻t=0において，点Pは頂点Aに，点Qは頂点Bにいる．
\mon[(b)]時刻t=n+1において，点Pと点Qは各々，時刻t=nのときにいた頂点から，他の3つの頂点のいずれかに，それぞれ1/3の確率で移動する．
時刻t=nにおける・・・

　国立 愛媛大学 2014年 第3問

nは自然数，mは整数，k,α,βは実数とする．
(1)α≧1，β≧1のとき，αβ≧α+β-1が成り立つことを示せ．
(2)xに関する2次方程式x2-mx+k=0の2つの解をp,qとする．pが整数ならば，qとkも整数であることを示せ．
(3)xに関する2次方程式x2-n2x+n=0は，整数の解をもたないことを示せ．
(4)xに関する2次方程式x2-(n-2)2x+n=0が整数の解をもつとき，nの値とその解をすべて求めよ．

　国立 愛媛大学 2014年 第4問

nを0以上の整数とする．点P，Qは，1辺の長さが1である正四面体ABCDの頂点の上を，以下の条件(a)，(b)を満たしながら移動する．
\mon[(a)]時刻t=0において，点Pは頂点Aに，点Qは頂点Bにいる．
\mon[(b)]時刻t=n+1において，点Pと点Qは各々，時刻t=nのときにいた頂点から，他の3つの頂点のいずれかに，それぞれ1/3の確率で移動する．
時刻t=nにおける・・・

　国立 愛媛大学 2014年 第1問

nを0以上の整数とする．点P，Qは，1辺の長さが1である正四面体ABCDの頂点の上を，以下の条件(a)，(b)を満たしながら移動する．
\mon[(a)]時刻t=0において，点Pは頂点Aに，点Qは頂点Bにいる．
\mon[(b)]時刻t=n+1において，点Pと点Qは各々，時刻t=nのときにいた頂点から，他の3つの頂点のいずれかに，それぞれ1/3の確率で移動する．
時刻t=nにおける・・・

　国立 愛媛大学 2014年 第2問

nは自然数，mは整数，k,α,βは実数とする．
(1)α≧1，β≧1のとき，αβ≧α+β-1が成り立つことを示せ．
(2)xに関する2次方程式x2-mx+k=0の2つの解をp,qとする．pが整数ならば，qとkも整数であることを示せ．
(3)xに関する2次方程式x2-n2x+n=0は，整数の解をもたないことを示せ．
(4)xに関する2次方程式x2-(n-2)2x+n=0が整数の解をもつとき，nの値とその解をすべて求めよ．

　国立 愛媛大学 2014年 第5問

nは自然数，p0，p1，・・・，pnはp0＞0，・・・，pn＞0かつp0+p1+・・・+pn=1を満たす定数とする．ポイント0,1,2,・・・,n-1,nが，それぞれp0,p1,p2,・・・,p_{n-1},pnの確率で得られる試行Tを考える．試行Tを1回行って得られるポイントの期待値をaとし，A=[a]+1とする．ただし，実数xに対して[x]はxを超えない最大の整数を表す．競技者は，試行Tを下記の各設問のルールに従って何回か行う．
(1)kを1≦k≦nを満たす整数とする．競技・・・

　国立 千葉大学 2014年 第1問

袋の中に，赤玉が3個，白玉が7個が入っている．袋から玉を無作為に1つ取り出し，色を確認してから，再び袋に戻すという試行を行う．この試行をN回繰り返したときに，赤玉をA回（ただし0≦A≦N）取り出す確率をp(N,A)とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)確率p(N,A)をNとAを用いて表せ．
(2)Nが10の倍数，すなわちN=10nとなる自然数nがあるとする．確率p(10n,0)，p(10n,1)，・・・，p(10n,10n)のうち，一番大きな値はp(10n,3n)であることを次の手順に・・・