「整数」について

　国立 千葉大学 2014年 第1問

袋の中に，赤玉が3個，白玉が7個が入っている．袋から玉を無作為に1つ取り出し，色を確認してから，再び袋に戻すという試行を行う．この試行をN回繰り返したときに，赤玉をA回（ただし0≦A≦N）取り出す確率をp(N,A)とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)確率p(N,A)をNとAを用いて表せ．
(2)Nが10の倍数，すなわちN=10nとなる自然数nがあるとする．確率p(10n,0)，p(10n,1)，・・・，p(10n,10n)のうち，一番大きな値はp(10n,3n)であることを次の手順に・・・

　国立 千葉大学 2014年 第5問

自然数nに対して，和
Sn=1+1/2+1/3+・・・+1/n
を考える．
(1)各自然数nに対して2k≦nをみたす最大の整数kをf(n)で表すとき，2つの奇数an,bnが存在して
Sn=\frac{an}{2^{f(n)}bn}
と表されることを示せ．
(2)n≧2のときSnは整数にならないことを示せ．
(3)さらに，自然数m,n(m＜n)に対して，和
S_{m,n}=1/m+\frac{1}{m+1}+・・・+1/n
を考える．S_{m,n}はどんなm,n(m＜n)に対しても整数にならな・・・

　私立 慶應義塾大学 2014年 第1問

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．
(1)1から13までの整数が1つずつ書かれた13枚のカードの中から3枚を選ぶとき，偶数が書かれたカードが2枚以上含まれる選び方は[あ]通りであり，11以上の数が書かれたカードが少なくとも1枚含まれる選び方は[い]通りである．
(2)α=2+√5とするとき，αを解とし，整数を係数とする2次方程式x2+a1x+b1=0を求めるとa1=[う]，b1=[え]である．また自然数nに対して，αn・・・

　私立 自治医科大学 2014年 第4問

xを整数とする．log2(x+1)+4log4(x-1)＞0を満たす最小のxの値を求めよ．

　私立 自治医科大学 2014年 第7問

放物線y=x2+ax+bと直線y=x+aが接しているとき，条件を満たす(a,b)は，何組あるか．ただし，a,bはともに整数であり，b＜10とする．

　私立 北星学園大学 2014年 第1問

f(x)=x2-(a+1)x+aとするとき，以下の問に答えよ．
(1)f(x)を因数分解せよ．
(2)f(x)＜0となるxの値の範囲を求めよ．
(3)f(x)＜0を満たす整数解のないような定数aの値の範囲を求めよ．

　私立 千葉工業大学 2014年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)x＜\frac{√3}{1-√3}をみたす最大の整数xは[アイ]である．
(2)等式\frac{x+5}{x2+x-2}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+2}がxについての恒等式であるとき，a=[ウ]，b=[エオ]である．
(3)点(-4,a)と直線3x+4y-1=0との距離が1であるとき，a=[カ]または\frac{[キ]}{[ク]}である．
(4)(x-2/3)9の展開式において，x8の係数は\kakko{ケコ・・・

　私立 愛知学院大学 2014年 第4問

1,1,1,1,2,2,2,3の8個の数字を全部使って8桁の整数を作る．これらの整数について，次の問いに答えなさい．
(1)百の位，十の位，一の位の数字がすべて2である整数は何個あるか．
(2)百の位，十の位，一の位の数字がすべて1である整数は何個あるか．
(3)百の位，十の位，一の位の数字が互いに異なる整数は何個あるか．
(4)百の位，十の位，一の位の数字のうち，2つの数字が同じで，残りの1つの数字がそれらと違う整数は何個あるか．

　私立 近畿大学 2014年 第1問

円C1に内接する四角形ABCDがあり，2つの辺の長さがAB=1，BC=2となっている．∠ABC=θとおく．次の問に答えよ．
(1)AC2=m+ncosθと表すとm=[ア]，n=[イ]である．ただしm,nは整数とする．
(2)四角形ABCDの残りの辺の長さがCD=2，DA=4となっている．このときcosθ=[ウ]，AC=[エ]である．また円C1の半径は[オ]，四角形ABCDの面積は[カ]である．
\end{en・・・

　私立 近畿大学 2014年 第3問

xy平面上の点Pのx座標，y座標をそれぞれPx，Pyと書く．Px，Pyがともに整数であるような点Pを格子点という．次の問に答えよ．
(1)原点Oと点A(18,12)を結ぶ線分OAがある．線分OA上にある格子点の個数を求めよ．ただし両端O，Aも線分OA上の点とする．
(2)O，Aと点B(18,0)を頂点とする△OABの周または内部にある格子点の個数を求めよ．
(3)nを正の整数・・・