タグ「整数」の検索結果

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    九州大学 国立 九州大学 2015年 第2問
    以下の問いに答えよ.
    (1)関数y=\frac{1}{x(logx)2}はx>1において単調に減少することを示せ.
    (2)不定積分∫\frac{1}{x(logx)2}dxを求めよ.
    (3)nを3以上の整数とするとき,不等式
    Σ_{k=3}n\frac{1}{k(logk)2}<\frac{1}{log2}
    が成り立つことを示せ.
    旭川医科大学 国立 旭川医科大学 2015年 第1問
    f(p,q,r)=p3-q3-27r3-9pqrについて,次の問いに答えよ.
    (1)f(p,q,r)を因数分解せよ.
    (2)等式f(p,q,r)=0とp2-10q-30r=11との両方を満たす正の整数の組(p,q,r)をすべて求めよ.
    旭川医科大学 国立 旭川医科大学 2015年 第2問
    nを正の整数とする.2nπ≦x≦(2n+1)πの範囲で関数f(x)=xsinxを考える.関数f(x)が極大値をとるxをanとし,曲線y=f(x)の変曲点を(bn,f(bn))とする.次の問いに答えよ.
    (1)anとbnはそれぞれ唯1つあって,2nπ<bn<2nπ+π/2<an<(2n+1)πを満たすことを示せ.
    (2)以下の極限を求めよ.
    (1)\lim_{n→∞}(an-2nπ)\qquad(2)\lim_{n→∞}(bn-2nπ)\qquad(3)\lim_{n→∞}f(bn)
    (3)曲線y=f・・・
    金沢大学 国立 金沢大学 2015年 第3問
    座標平面上で,x座標とy座標がともに0以上の整数である点を,ここでは格子点とよぶ.格子点(0,0)から格子点(k,ℓ)へ,両端点がともに格子点であり長さが1の線分を用いて,格子点(0,0)から順に最も少ない本数でつなぐ方法を数える.例えば,格子点(0,0)から格子点(3,1)へつなぐ方法の数は4である.次の問いに答えよ.
    (1)格子点(0,0)から格子点(4,0)へつなぐ方法の数と,格子点(0,0)から格子点(2,2)へつなぐ方法の数を,それぞれ求めよ.
    (2)条件k+ℓ=5を満たす格子・・・
    九州大学 国立 九州大学 2015年 第4問
    以下の問いに答えよ.
    (1)nが正の偶数のとき,2n-1は3の倍数であることを示せ.
    (2)pを素数とし,kを0以上の整数とする.2^{p-1}-1=pkを満たすp,kの組をすべて求めよ.
    新潟大学 国立 新潟大学 2015年 第1問
    整数aに対してP(x)=x3-ax2+ax-1とおく.次の問いに答えよ.
    (1)P(x)をx-1で割ったときの商を求めよ.
    (2)3次方程式P(x)=0が虚数解をもつような整数aの値をすべて求めよ.
    (3)3次方程式P(x)=0のすべての解が整数となるような整数aの値をすべて求めよ.
    新潟大学 国立 新潟大学 2015年 第1問
    整数aに対してP(x)=x3-ax2+ax-1とおく.次の問いに答えよ.
    (1)P(x)をx-1で割ったときの商を求めよ.
    (2)3次方程式P(x)=0が虚数解をもつような整数aの値をすべて求めよ.
    (3)3次方程式P(x)=0のすべての解が整数となるような整数aの値をすべて求めよ.
    横浜国立大学 国立 横浜国立大学 2015年 第4問
    自然数を2個以上の連続する自然数の和で表すことを考える.たとえば,42は3+4+・・・+9のように2個以上の連続する自然数の和で表せる.次の問いに答えよ.
    (1)2020を2個以上の連続する自然数の和で表す表し方をすべて求めよ.
    (2)aを0以上の整数とするとき,2aは2個以上の連続する自然数の和で表せないことを示せ.
    (3)a,bを自然数とするとき,2a(2b+1)は2個以上の連続する自然数の和で表せることを示せ.
    埼玉大学 国立 埼玉大学 2015年 第1問
    cは正の整数とする.数列a1,a2,a3,・・・はa1=1,a2=cであり,さらに漸化式
    a_{n+2}=a_{n+1}+an(n=1,2,3,・・・)
    を満たすとする.次の問いに答えよ.
    (1)n=1,2,3,・・・に対して,anは正の整数であり,かつ,anとa_{n+1}の最大公約数は1であることを示せ.
    (2){(-1)}n(a_{n+1}2-a_{n+2}an)はnによらず一定の値であることを示せ.
    (3)c≧2とし,bn=\frac{a_{n+1}}{an}とおくと
    {\begin{array}{ll}
    b_{n+1}>bn&・・・
    埼玉大学 国立 埼玉大学 2015年 第2問
    xy平面上の点Pのx座標およびy座標がともに整数であるとき,Pを格子点とよぶ.また,自然数nに対して,連立不等式
    {\begin{array}{l}
    0≦x≦n\
    0≦y≦n
    \end{array}.
    の表す領域をRとする.R内の4つの格子点を頂点とする正方形の個数をqnとする.次の問いに答えよ.
    (1)xy平面上の2点A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0)を結ぶ線分を1辺とする正方形ABCDを考える.点C,Dが第1象限に含まれ・・・
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