「整数」について

　私立 北海学園大学 2014年 第2問

nを1以上の整数とする．2つの袋A，Bがあり，袋Aには白玉がn個，赤玉が2個入っており，袋Bには白玉がn個，赤玉が3個入っている．このとき，それぞれの袋から1個ずつ玉を取り出す．
(1)2個とも白玉である確率を求めよ．
(2)白玉と赤玉が1個ずつである確率Pnを求めよ．また，Pn=P_{n+1}となるnの値と，そのときのPnを求めよ．
(3)取り出した白玉の個数の期待値が11/10になるとき，nの値を求めよ．

　私立 北海学園大学 2014年 第3問

nを1以上の整数とする．2つの袋A，Bがあり，袋Aには白玉がn個，赤玉が2個入っており，袋Bには白玉がn個，赤玉が3個入っている．このとき，それぞれの袋から1個ずつ玉を取り出す．
(1)2個とも白玉である確率を求めよ．
(2)白玉と赤玉が1個ずつである確率Pnを求めよ．また，Pn=P_{n+1}となるnの値と，そのときのPnを求めよ．
(3)取り出した白玉の個数の期待値が11/10になるとき，nの値を求めよ．

　私立 広島工業大学 2014年 第5問

次の各問いに答えよ．
(1)不等式|3x-5|＜x+4を満たす整数解を求めよ．
(2)式(cos{15}°+sin{15}°)2+(cos{15}°-sin{15}°)2の値を求めよ．
(3)2≦x≦3，3≦y≦4のとき，1+xy-x-yの最大値と最小値を求めよ．

　私立 倉敷芸術科学大学 2014年 第3問

f(x)=ax2+bxは，x=1,-1で整数値をとり，f(1)=r，f(-1)=sとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)a,bをr,sの式で表わせ．
(2)整数nに対して，f(n)をn,r,sの式で表わせ．
(3)nが整数のとき，f(n)は常に整数になることを示せ．

　私立 成城大学 2014年 第3問

(1+√2)n=an+bn√2（nは自然数）を満たす整数の数列{an}，{bn}を考える．
(1)a_{n+1}，b_{n+1}のそれぞれをanとbnで表す漸化式を作れ．
(2)漸化式a_{n+1}+pb_{n+1}=q(an+pbn)を満たす実数の組(p,q)を2組求めよ．
(3)(2)で求めた2つの漸化式を解いて，一般項an,bnを求めよ．

　私立 星薬科大学 2014年 第1問

aを0以上9以下の整数，bを1以上99以下の整数，cを512の倍数として次の問に答えよ．
(1)80a+bの最大値は[1][2][3]である．
(2)80a+b-c+12が512の倍数であるとき，80a+b=[4][5][6]であり，a=[7]，b=[8][9]である．

　私立 玉川大学 2014年 第2問

[ア]～[タ]を埋めよ．
(1)sinx=\frac{√5-1}{2}のときsin5x+sin3xの値は
sin5x+sin3x=[ア]sin[イ]xcosx
を用いれば
[ウエ]\sqrt{[オ]}-[カキ]
である．
(2)三角形ABCにおいて，辺ABをm:nに内分する点をP，辺ACをn:mに内分する点をQとする．ただし，m≠nかつmとnの最大公約数は1である．このときt=\frac{m}{m+n}とおくと
ベクトルPQ=-t\・・・

　私立 武庫川女子大学 2014年 第1問

次の空欄[1]～[24]にあてはまる数字を記入せよ．ただし，空欄[21]には，+または-の記号が入る．
(1)a1=m（ただし，m＞0），a_{n+1}-an=-4（ただし，nは自然数）で定められる数列{an}がある．
an=m-[1](n-[2])であり，
Sn=Σ_{k=1}nakとすると，nが\frac{m+[3]}{[4]}に最も近い整数であるとき，Snは最大値をとる．
したがって，あるmの値について，Snが，n=10で最大となると・・・

　私立 上智大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)aを実数とする．実数xに対して，[x]はx以下の最大の整数を表す．方程式
[1/2x]=x-a
が0≦x＜4の範囲に異なる2つの実数解をもつようなaの範囲は[ア]≦a＜[イ]である．
(2)\frac{1}{4-\sqrt{11}}を小数で表すとき，小数第1位の数字は[ウ]である．
(3){(x2+√2y)}6の展開式におけるx8y2の係数は[エ]である．
(4)kを実数とする．2つの2次方程式
x2-(k-1)x+k+2=0,・・・

　私立 上智大学 2014年 第2問

∠Aが鋭角でAB=6，AC=4の△ABCがある．∠Aの二等分線と直線BCの交点をD，線分ADを2:1に内分する点をEとし，直線BEと直線ACの交点をFとする．
(1)面積比△ABE:△ABCを最も簡単な整数比で表すと，
△ABE:△ABC=[コ]:[サ]
である．
(2)線分比AF:FCを最も簡単な整数比で表すと，
AF:FC=\k・・・