「整数」について

　公立 滋賀県立大学 2014年 第2問

a,bは定数で，a≧bである．
(1)2次方程式x2-ax+b=0の2つの解が正の整数であるとき，a,bが満たすべき条件を求めよ．
(2)2次方程式x2-ax+b=0およびx2-bx+a=0の解がすべて正の整数であるとき，a,bが満たすべき条件を求めよ．

　公立 愛知県立大学 2014年 第2問

1辺の長さがa1の正五角形をP1とする．P1の対角線を1辺とする正五角形をP2とし，P2の対角線を1辺とする正五角形をP3とする．このように対角線から次の正五角形を繰り返してつくるものとする．このとき，n＞1におけるPnの1辺の長さをanとし，以下の問いに答えよ．
(1)数列{an}の一般項をa1とnを用いて表せ．
(2)整数の数列{xn}と{yn}を用いて
an=\frac{xn+√5yn}{2}
と書けるとする．このとき，x_{n+2}をxn・・・

　公立 岐阜薬科大学 2014年 第2問

異なるn個の整数1,2,3,・・・,nの中から重複を許して2個の整数を選び，すべての組合せについて，2数の和および積をたし合わせたものをそれぞれS(n)，T(n)とする．n≧2であるとき，次の問いに答えよ．
(1)S(3)，T(3)を求めよ．
(2)S(n)，T(n)をnの式で表せ．

　公立 岐阜薬科大学 2014年 第5問

異なるn個の整数1,2,3,・・・,nの中から3個の整数を選び，それらの和を3で割った余りが0,1,2となる確率をそれぞれpn，qn，rnとするとき，次の問いに答えよ．
(1)同じ整数を重複して選ぶことを許すとき，p9，q9，r9を求めよ．
(2)同じ整数を重複して選ぶことを許さないとき，
(i)p_{3k}，q_{3k}，r_{3k}をkを用いて表せ．ただし，k≧3とする．
(ii)\lim_{k→∞}p_{3k}を求めよ．
\end{en・・・

　公立 釧路公立大学 2014年 第3問

n,mを整数とする．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)n2を5で割った余りは0,1または4であることを証明せよ．
(2)nを5で割った余りが4のとき，n2+nは5の倍数であることを証明せよ．
(3)m＞1のとき，m3-mが6の倍数であることを証明せよ．

　公立 釧路公立大学 2014年 第4問

以下の各問に答えよ．
(1)年利率r%，1年ごとの複利でy万円を預けると，x年後に元利合計はy(1+0.01r)x万円となる．ただし，rは整数とする．このとき，以下の各問について別添の常用対数表（省略）を用いて答えよ．
(i)年利率2%で10万円を預けると，元利合計が初めて15万円を超えるのは何年後か求めよ．
(ii)元利合計が10年で預けた金額の倍以上になるような最小のrを求めよ．
(2)曲線：y=x3-5x2+2x+8がある．以下の・・・

　公立 富山県立大学 2014年 第2問

nは正の整数とする．等式\comb{n}{0}+\comb{n}{1}x+\comb{n}{2}x2+・・・+\comb{n}{n}xn={(1+x)}nを用いて，次の等式が成り立つことを示せ．
(1)\comb{n}{0}-\comb{n}{1}+\comb{n}{2}-・・・+{(-1)}n・\comb{n}{n}=0
(2)\comb{n}{1}+2・\comb{n}{2}+3・\comb{n}{3}+・・・+n・\comb{n}{n}=n・2^{n-1}
(3)\comb{n}{0}+2・\comb{n}{1}+3・\comb{n}{2}+・・・+(n+1)・\comb{n}{n}=(n+2)・2^{n-1}

　公立 富山県立大学 2014年 第5問

nは整数の定数とし，P(x)=x(x+1)(x+5)とする．次の問いに答えよ．
(1)xについての3次方程式P(x)=P(1)を解け．
(2)xについての3次方程式P(x)=P(n)が異なる3つの実数解をもつとき，nの値を求めよ．

　公立 広島市立大学 2014年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ．
a1=2,a_{n+1}-an=(n+1)(n+2)(n=1,2,3,・・・)
(2)A=(\begin{array}{cc}
1&1\
-1&2
\end{array})とし，pA+qE（p,qは実数）の形の2次正方行列全体の集合をMとする．ただし，Eは2次の単位行列とする．
(i)Aの逆行列A^{-1}を求めよ．
(ii)A^{-1}は集合Mに属することを示せ．
(3)m,nを正・・・

　公立 横浜市立大学 2014年 第4問

nを4以上の整数とする．1番からn番までの番号がふられたボールが1つずつある．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)以下のような操作でボールを1列に並べる：
(i)1番のボールを適当な位置におく．
(ii)2番のボールを1番のボールの左または右に同じ確率でおく．
(iii)3番のボールをすでに並んでいる2つのボールの左または間または右に同じ確率でおく．
\mon[\tokeishi]以下n番まで番号順に，k番のボールを，すでに並んでいるボー・・・