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実数xに対して，n≦x＜n+1を満たす整数nを[x]で表すとき
4[x]2-36[x]+45＜0
を満たすxの範囲を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)四面体OABCにおいて，辺OAを1:1に内分する点をD，線分BDを3:2に内分する点をE，線分CEを3:1に内分する点をF，直線OFと平面ABCの交点をPとする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとするとき，ベクトルOPをベクトルa，ベクトルb，ベクトルcで表せ．
(2)\sqrt{x2+84}が整数となるような正の整数xをすべて求めよ．
公立 北九州市立大学 2014年 第3問log_{10}2=0.3010，log_{10}3=0.4771とする．以下の問題に答えよ．
(1)log_{10}9の値を求めよ．
(2){10}^{187}≦9k＜10^{188}を満たす整数kをすべて求めよ．
(3)9^{104}は何桁の整数か答えよ．
(4)9^{104}の一の位の数字を求めよ．
(5)9^{104}の最高位の数字を求めよ．
国立 埼玉大学 2013年 第2問すべての項が整数である数列を整数列と呼ぶ．
(1)整数列{αn},{βn}を次で定める．
(5+2√6)n=αn+√6βnn=1,2,・・・
(i)数列γn=αn-√6βnは等比数列になることを示し，その一般項を求めよ．
(ii)一般項αn,βnを求めよ．
(2)整数列{an},{bn},{cn},{dn}を次で定める．
(√2+√3)n=an+√2bn+√3cn+\sqrt{6・・・
国立 京都大学 2013年 第3問nを自然数とし，整式xnを整式x2-2x-1で割った余りをax+bとする．このときaとbは整数であり，さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ．
国立 横浜国立大学 2013年 第3問1つの整数を表示する装置がある．最初に2013が表示されている．さいころを1回投げるたびに次の操作(*)を行う．
\mon[(*)]表示されている整数をさいころの出た目の数で割った余りrを求め，装置にrを表示させる．
さいころをn回投げたとき，最後に装置に表示されている整数が0である確率をan，1である確率をbn，3である確率をcnとする．次の問いに答えよ．
(1)a1,b1,c1を求めよ．
(2)an,bn,cnをa_{n-1},b_{n-1},c_{n-1}を用いて表せ・・・
国立 横浜国立大学 2013年 第4問1つの整数を表示する装置がある．最初に2013が表示されている．さいころを1回投げるたびに次の操作(*)を行う．
\mon[(*)]表示されている整数をさいころの出た目の数で割った余りrを求め，装置にrを表示させる．
さいころをn回投げたとき，最後に装置に表示されている整数が0である確率をan，1である確率をbn，3である確率をcnとする．次の問いに答えよ．
(1)a1,b1,c1を求めよ．
(2)an,bn,cnをa_{n-1},b_{n-1},c_{n-1}を用いて表せ・・・
国立 一橋大学 2013年 第1問3p3-p2q-pq2+3q3=2013を満たす正の整数p,qの組をすべて求めよ．
国立 名古屋大学 2013年 第3問k,m,nは整数とし，n≧1とする．\comb{m}{k}を二項係数として，Sk(n),Tm(n)を以下のように定める．
\begin{align}
&Sk(n)=1k+2k+3k+・・・+nk,Sk(1)=1(k≧0)\nonumber\\
&Tm(n)=\comb{m}{1}S1(n)+\comb{m}{2}S2(n)+\comb{m}{3}S3(n)+・・・+\comb{m}{m-1}S_{m-1}(n)\nonumber\\
&\phantom{Tm(n)}=Σ_{k=1}^{m-1}\comb{m}{k}Sk(n)(m≧2)\nonumber
\end{align}
(1)Tm(1)とTm(2)を求めよ．
(2)一般のnに対してTm(n)を求めよ．
(3)・・・ 国立 名古屋大学 2013年 第2問x＞0とし，f(x)=logx^{100}とおく．
(1)次の不等式を証明せよ．
\frac{100}{x+1}＜f(x+1)-f(x)＜\frac{100}{x}
(2)実数aの整数部分（k≦a＜k+1となる整数k）を[a]で表す．整数[f(1)]，[f(2)]，[f(3)]，・・・，[f(1000)]のうちで異なるものの個数を求めよ．必要ならばlog10=2.3026として計算せよ．
