「整数」について

　国立 大阪大学 2013年 第3問

4個の整数
n+1,n3+3,n5+5,n7+7
がすべて素数となるような正の整数nは存在しない．これを証明せよ．

　国立 大阪大学 2013年 第5問

nを3以上の整数とする．n個の球K1,K2,・・・,Knとn個の空の箱H1,H2,・・・,Hnがある．以下のように，K1,K2,・・・,Knの順番に，球を箱に1つずつ入れていく．\\
まず，球K1を箱H1,H2,・・・,Hnのどれか1つに無作為に入れる．次に，球K2を，箱H2が空ならば箱H2に入れ，箱H2が空でなければ残りのn-1個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる．\\
一般に，i=2,3,・・・,nについて，球Kiを，箱Hiが空ならば箱Hiに入れ，箱Hiが空でなければ残りのn-i+1個の・・・

　国立 岡山大学 2013年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)整数x,yが25x-31y=1を満たすとき，x-5は31の倍数であることを示せ．
(2)1≦y≦100とする．このとき，不等式
0≦25x-31y≦1
を満たす整数の組(x,y)をすべて求めよ．

　国立 岡山大学 2013年 第2問

行列A=(\begin{array}{cc}
a&-b\
b&a
\end{array})で定まる座標平面上の1次変換をfとする．ただし，a,bは実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)原点Oとは異なる点P(x,y)をfで移した点をQとする．このとき，長さの比の値OQ/OPはPによらないことを示し，その値をa,bを用いて表せ．
(2)正の整数nに対して，An=(\begin{array}{cc}
pn&qn\
rn&sn
\end{array})とする・・・

　国立 名古屋大学 2013年 第3問

k,m,nは整数とし，n≧1とする．\comb{m}{k}を二項係数として，Sk(n),Tm(n)を以下のように定める．
\begin{align}
&Sk(n)=1k+2k+3k+・・・+nk,Sk(1)=1(k≧0)\nonumber\\
&Tm(n)=\comb{m}{1}S1(n)+\comb{m}{2}S2(n)+\comb{m}{3}S3(n)+・・・+\comb{m}{m-1}S_{m-1}(n)\nonumber\\
&\phantom{Tm(n)}=Σ_{k=1}^{m-1}\comb{m}{k}Sk(n)(m≧2)\nonumber
\end{align}
(1)Tm(1)とTm(2)を求めよ．
(2)一般のnに対してTm(n)を求めよ．
(3)・・・

　国立 広島大学 2013年 第2問

座標平面上の点で，x座標とy座標がともに整数である点を格子点という．nを3以上の自然数とし，連立不等式
x≧0,y≧0,x+y≦n
の表す領域をDとする．格子点A(a,b)に対して，領域D内の格子点B(c,d)が|a-c|+|b-d|=1を満たすとき，点Bを点Aの隣接点という．次の問いに答えよ．
(1)領域D内の格子点のうち隣接点の個数が4であるものの個数を求めよ．
(2)領域Dから格子点を1つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が3以上とな・・・

　国立 広島大学 2013年 第3問

関数f(x)=log2(x+1)に対して，次の問いに答えよ．
(1)0以上の整数kに対して，f(x)=k/2(f(1)-f(0))を満たすxをkを用いて表せ．
(2)(1)で求めたxをxkとおく．Sn=Σ_{k=1}nk(xk-x_{k-1})をnを用いて表せ．

　国立 広島大学 2013年 第5問

座標平面上の点で，x座標とy座標がともに整数である点を格子点という．nを3以上の自然数とし，連立不等式
x≧0,y≧0,x+y≦n
の表す領域をDとする．格子点A(a,b)に対して，領域D内の格子点B(c,d)が|a-c|+|b-d|=1を満たすとき，点Bを点Aの隣接点という．次の問いに答えよ．
(1)点O(0,0)の隣接点をすべて求めよ．また，領域D内の格子点Pが直線x+y=n上にあるとき，Pの隣接点の個数を求めよ．
(2)・・・

　国立 新潟大学 2013年 第3問

正の整数nに対してan=\sqrt{1+n2}-nとおく．次の問いに答えよ．
(1)不等式\frac{1}{2n+1}＜an＜1/2nが成り立つことを示せ．
(2)不等式an＞a_{n+1}が成り立つことを示せ．
(3)an＜0.03となる最小の正の整数nを求めよ．

　国立 東京医科歯科大学 2013年 第2問

2次正方行列(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})のうち，次の3条件(i),(ii),(iii)を満たすもの全体の集合をMとする．
(i)a,b,c,dはすべて整数
(ii)b+c=0
(iii)a-b-d=0
またEを2次単位行列とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)行列A,BがともにMの要素であるとき，それらの積ABもMの要素であることを示せ．
(2)行列A=(\begin{array}{cc}
a&b・・・