「整数」について

　国立 九州大学 2013年 第5問

実数x,y,tに対して，行列
A=(\begin{array}{cc}
x&y\
-t-x&-x
\end{array}),B=(\begin{array}{rr}
5&4\
-6&-5
\end{array})
を考える．(AB)2が対角行列，すなわち(\begin{array}{cc}
α&0\
0&β
\end{array})の形の行列であるとする．
(1)命題「3x-3y-2t≠0⇒A=tB」を証明せよ．
以下(2)，(3)，(4)では，さらにA2≠EかつA4=Eであるとする．ただし，Eは単位行列を表す．
\mo・・・

　国立 千葉大学 2013年 第1問

a,bを正の整数とする．このとき，関数
y=|x2-ax+\frac{a2|{2}-5}
のグラフと直線y=bとの共有点を考える．
(1)共有点が3個になるような(a,b)の組をすべて求めよ．
(2)共有点が1個になるような(a,b)の組のうち，bが最小になるものを求めよ．

　国立 千葉大学 2013年 第2問

a,bを100以下の正の整数とする．2つの分数a/27,31/bがどちらも既約分数であり，かつ，和a/27+31/bが整数であるとする．このような(a,b)の組をすべて求めよ．

　国立 千葉大学 2013年 第6問

整数p,q(p≧q≧0)に対して2項係数を\comb{p}{q}=\frac{p!}{q!(p-q)!}と定める．なお0!=1とする．
(1)n,kが0以上の整数のとき，
\comb{n+k+1}{k+1}×(\frac{1}{\comb{n+k}{k}}-\frac{1}{\comb{n+k+1}{k}})
を計算し，nによらない値になることを示せ．
(2)mが3以上の整数のとき，和\frac{1}{\comb{3}{3}}+\frac{1}{\comb{4}{3}}+\frac{1}{\comb{5}{3}}+・・・+\frac{1}{\comb{m}{3}}を求めよ．

　国立 千葉大学 2013年 第9問

m4+14m2が2m+1の整数倍となるような整数mをすべて求めよ．

　国立 東京工業大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)2次方程式x2-3x+5=0の2つの解α,βに対し，αn+βn-3nはすべての正の整数nについて5の整数倍になることを示せ．
(2)6個のさいころを同時に投げるとき，ちょうど4種類の目が出る確率を既約分数で表せ．

　国立 東京工業大学 2013年 第4問

正の整数nに対し，0≦x≦π/2の範囲においてsin4nx≧sinxを満たすxの区間の長さの総和をSnとする．このとき，\lim_{n→∞}Snを求めよ．

　国立 東京大学 2013年 第5問

次の命題Pを証明したい．
命題P次の2条件(a)，(b)をともに満たす自然数（1以上の整数）Aが存在する．
(a)Aは連続する3つの自然数の積である．
(b)Aを10進法で表したとき，1が連続して99回以上現れるところがある．

以下の問いに答えよ．
(1)yを自然数とする．このとき不等式
x3+3yx2＜(x+y-1)(x+y)(x+y+1)＜x3+(3y+1)x2
が成り立つような正の実数xの範囲を求め・・・

　国立 愛知教育大学 2013年 第3問

nを正の整数とし，整式P(x)=x^{3n}+(3n-2)x^{2n}+(2n-3)xn-n2を考える．以下の問いに答えよ．
(1)P(x)をx2-1で割った余りを求めよ．
(2)P(x)がx2-1で割り切れるようなnの値をすべて求めよ．

　国立 山梨大学 2013年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)|x-2|+|x+3|＜6を満たす実数xの値の範囲を求めよ．
(2)a1=1,a2=2,a_{n+2}-2a_{n+1}+an=1で定められる数列{an}の一般項anを求めよ．
(3)毎年1月の人口調査で，人口が前年の98%に減少していく都市がある．この都市の人口が，初めて今年の調査の70%以下になるのは何年後の調査のときか．ただし，log_{10}2=0.3010，log_{10}7=0.8451として，答えは整数で求めよ．
(4)直線y=2xと放物線y=x2+4x+cos2θ+1/2(0≦・・・