「整数」について

　国立 弘前大学 2013年 第3問

行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})に対してD(A)=ad-bc，T(A)=a+dと定める．実数x,yに対して行列XをX=(\begin{array}{cc}
x&1\
1&y
\end{array})とおき，行列EをE=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})とし，行列OをO=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})に対し・・・

　国立 弘前大学 2013年 第5問

5^{2n-1}+7^{2n-1}+(23)^{2n-1}がすべての正の整数nについて35で割り切れることを証明せよ．

　国立 秋田大学 2013年 第2問

kを整数とし，0≦x≦πにおいて，
f(x)=exsin{(4k+1)x},g(x)=exsinx
とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)k=2のとき，2つの曲線y=f(x)，y=g(x)の共有点のx座標を求めよ．
(2)k=-1のとき，2つの曲線y=f(x)，y=g(x)で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)任意の整数kに対して，2つの曲線y=f(x),y=g(x)の共有点のうちに，その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するものがあることを示せ．

　国立 徳島大学 2013年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)不等式(x-1)2-3|x-1|+1＜0を満たす整数xをすべて求めよ．
(2)すべての自然数nに対して，2^{n-1}+3^{3n-2}+7^{n-1}が5の倍数であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

　国立 香川大学 2013年 第3問

座標平面上の点(x,y)は，x,yがともに整数のとき格子点\\
という．原点(0,0)に番号1をふり，以下(1,0)に番号2，\\
(1,1)に番号3と，各格子点に図のように反時計まわりに番\\
号をふっていく．このとき，次の問に答えよ．
\img{665285020131}{30}

(1)nが自然数のとき，格子点(n,-n)にふられる番号をnの\\
式で表せ．
(2)nが自然数のとき，格子点(n+1,n+1)にふられる番号をnの式で表せ．
(3)番号1000がふられる格子点の座標を求めよ．

　国立 佐賀大学 2013年 第3問

「n≦\sqrt{11}＜n+1が成り立つような整数nを見つけよ．」という問題に対して以下の答案があった．この答案の趣旨を詳しく説明せよ．
[答案]
まず，{\sqrt{11}}2=11から奇数を小さい順に引いていく．つまり，
11-1=10,10-3=7,7-5=2
となり，これ以上引くと負の数になるからここで計算を止める．結局，奇数を3回引いたので，n=3となる．

　国立 小樽商科大学 2013年 第2問

三角関数の加法定理を用いると
\begin{array}{l}
cos2θ=2cos2θ-1,sin2θ=2sinθcosθ\
cos3θ=4cos3θ-3cosθ,sin3θ=3sinθ-4sin3θ
\end{array}
を導くことができる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)加法定理と上の公式を利用して，cos5θ=16cos5θ-20cos3θ+5cosθを導け．
(2)x=cos\frac{2π}{5}とおくと，(1)より16x5-20x3+5x-1=0となる．この左辺・・・

　国立 室蘭工業大学 2013年 第3問

p,qを整数とし，p＞0とする．数列{an}は
a1=36,a_{n+1}=an+2pn+q(n=1,2,3,・・・)
を満たすとする．
(1)anをp,q,nを用いて表せ．
(2)a4＞0かつa5＜0とする．このとき，p,qの値を求めよ．
(3)(2)の条件のもとで，an＜0を満たすnの値をすべて求めよ．

　国立 宇都宮大学 2013年 第1問

数直線上の動点Pはさいころを投げて偶数が出れば+1，奇数が出れば-1移動する．Pの最初の位置（座標）をP0=0とし，さいころをk回投げたときのPの位置（座標）を順にP1，P2，・・・，Pkとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)さいころを4回投げたとき，P4=2となる確率を求めよ．
(2)さいころを8回投げたとき，P8=nとなる確率をnを用いて表せ．ただし，nは-8≦n≦8をみたす整数である．
(3)さいころを4・・・

　国立 滋賀医科大学 2013年 第1問

正の整数n,p,qについて，等式
(√p+√q)^{2n-1}=an√p+bn√q
を考える．
(1)ある正の整数an,bnが上の等式を満たすことを示せ．
(2)\sqrt{pq}が整数でないとき，(1)のan,bnはただ一通りに定まることを示せ．
(3)\sqrt{pq}が整数でないとき，(1)のan,bnに対して\lim_{n→∞}\frac{an}{bn}を求めよ．