「整数」について

　国立 奈良女子大学 2013年 第3問

nを正の整数とする．袋の中に，1から4nまでの数字が1つずつ書かれた4n枚のカードが入っている．ただし，異なるカードには異なる数字が書かれているものとする．この袋から，カードを1枚ずつ2回取り出す．ただし，取り出したカードは袋に戻さないものとする．取り出された2枚のカードに書かれた数字の和が6n以下となる確率をPnとおく．次の問いに答えよ．
(1)P1,P2をそれぞれ求めよ．
(2)Pnをnを用いて表せ．また，極限\lim_{n→∞}Pnを求めよ．

　国立 奈良女子大学 2013年 第4問

a,dを正の整数とする．x1=a,x2=a+d,x3=a+2d,x4=a+3dとおく．x1,x2,x3,x4がすべて素数であるとき，次の問いに答えよ．
(1)aは奇数であることを示せ．また，dは偶数であることを示せ．
(2)dは3の倍数であることを示せ．
(3)x3=67であるとき，a,dの値を求めよ．

　国立 お茶の水女子大学 2013年 第3問

数列{an}を次のように定める．
a1=a2=a3=1,a_{n+3}=a_{n+1}+an(n=1,2,3,・・・)
(1)a_{n+1}≦a_{n+2}≦2anを示せ．
(2)an≦\sqrt{2n}を示せ．
さらに，数列{bn}を
bn={\begin{array}{ll}
0&an　が偶数のとき　\
1&an　が奇数のとき　
\end{array}.(n=1,2,3,・・・)
によって定める．また，自然数kに対して，条件
pk　：すべての自然数　n　について　b_{n+k}=bn・・・

　国立 三重大学 2013年 第5問

正四面体ABCDを考える．点Pは，時刻0では頂点Aにあり，1秒ごとに，今いる頂点から他の3頂点のいずれかに動くとする．nを正の整数として，Aから出発してn秒後にAに戻る経路の数をαn，Aから出発してn秒後にBに到達する経路の数をβnとする．このとき，Aから出発してn秒後にCに到達する経路の数も，Dに到達する経路の数もβnとなる．このことに注意して，以下の問いに答えよ．ただしα0=1，β0=0とする．
\begin・・・

　国立 三重大学 2013年 第3問

正四面体ABCDを考える．点Pは，時刻0では頂点Aにあり，1秒ごとに，今いる頂点から他の3頂点のいずれかに，等しい確率で動くとする．nを0以上の整数とし，点Pがn秒後にA，B，C，Dにある確率を，それぞれpn,qn,rn,snとする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)n≧1に対しqn=rn=snとなることを数学的帰納法で証明せよ．
(2)n≧1に対しpn,qnをp_{n-1},q_{n-1}で表せ．ただし，p0=1,q0=0とする．・・・

　国立 三重大学 2013年 第3問

正四面体ABCDを考える．点Pは，時刻0では頂点Aにあり，1秒ごとに，今いる頂点から他の3頂点のいずれかに，等しい確率で動くとする．nを0以上の整数とし，点Pがn秒後にAにある確率をpn，Bにある確率をqnとする．このとき，n秒後にCにある確率も，Dにある確率もqnとなる．このことに注意して，以下の問いに答えよ．ただし，p0=1,q0=0とする．
(1)n≧1に対しpn,qnをp_{n-1},q_{n-1}で表せ．
(2)cn=pn-q_・・・

　国立 鹿児島大学 2013年 第5問

2次の正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})に対して，\Delta(A)=ad-bcとおく．たとえば単位行列E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})に対しては\Delta(E)=1×1-0×0=1となる．またK=(\begin{array}{cc}
2&3\
5&7
\end{array})に対しては\Delta(K)=2×7-3×5=-1となる．次の各問いに答えよ．
(1)P=(\begin{array}{cc}
0&1\
2&3
\end{array}),Q=(\begin{・・・

　国立 群馬大学 2013年 第7問

自然数nについて，0以上n以下の整数x,yを座標にもつ点(x,y)全体の集合をXnとする．行列(\begin{array}{cc}
1&1\
2&-1
\end{array})の表す一次変換によるXnの点の像全体の集合をYnとする．
(1)点(187,110)はY_{100}に含まれるかどうか理由をつけて述べよ．
(2)X5とY5の共通部分X5∩Y5の点の個数を求めよ．

　国立 群馬大学 2013年 第14問

自然数nについて，0以上n以下の整数x,yを座標にもつ点(x,y)全体の集合をXnとする．行列(\begin{array}{cc}
1&1\
2&-1
\end{array})の表す一次変換によるXnの点の像全体の集合をYnとする．XnとYnの共通部分Xn∩Ynの点の個数をanとする．
(1)点(187,110)はY_{100}に含まれるかどうか理由をつけて述べよ．
(2)a5を求めよ．
(3)自然数mについて，a_{6m}をmを用いて表せ．

　国立 滋賀医科大学 2013年 第3問

実数aに対し，行列X(a)を
X(a)=\frac{1}{a2+1}(\begin{array}{cc}
2a2+1&-a\
-a&a2+2
\end{array})
と定める．
(1)ベクトル(\begin{array}{c}
x0\
y0
\end{array})を考える．ベクトル(\begin{array}{c}
x0\
y0
\end{array})，X(a)(\begin{array}{c}
x0\
y0
\end{array})の大きさをそれぞれl0,l1とおく．このとき
l0≦l1
を示せ．ただしベクトル(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array}\r・・・