「整数」について

　国立 福井大学 2013年 第3問

さいころの目によってx軸上を移動する点Qを考える．さいころを1回投げて5または6の目が出ればQはx軸上を正の向きに1だけ移動し，その他の目が出ればQはx軸上を負の向きに1だけ移動する．最初，Qはx軸上の原点にあり，さいころをn回投げてQがn回移動したときのQのx座標をXnとおく．整数kに対し，Xn=kとなる確率をp(n,k)と表すとき，以下の問いに答えよ．
(1)p(3,3)，p(3,2)，p(3,1)，p(3,0)の値を求めよ．
(2)X3・・・

　国立 山口大学 2013年 第4問

実数xに対し，xを超えない最大の整数を[x]で表す．数列{an}が
an=[√n](n=1,2,3,・・・)
で定められるとき，次の問いに答えなさい．
(1)a1,a2,a3,a4を求めなさい．
(2)nを自然数とする．
Sn=Σ_{i=1}nai=a1+a2+・・・+an
とするとき，次の等式を証明しなさい．
Sn=(n+5/6)an-1/2{an}2-1/3{an}3

　国立 岐阜大学 2013年 第4問

正の整数nについて，x＞0で定義された関数fn(x)を次で定める．
\begin{array}{l}
f1(x)=xlogx\
f_{n+1}(x)=(n+1)∫1xfn(t)dt+\frac{1}{n+1}(x^{n+1}-1)
\end{array}
以下の問に答えよ．ただし，logxはxの自然対数とする．
(1)関数f2(x)を求めよ．
(2)関数fn(x)の具体的な形を推測し，それを数学的帰納法で証明せよ．
(3)g(x)=|f2(x)|-|x-1|とおくとき，g(x)がx=1で微分可能であることを証明せよ．また，微分係数g´(1)を求めよ．
\end・・・

　国立 岐阜大学 2013年 第5問

a,bをa2+\frac{b2}{6}=1を満たす正の実数とする．行列A=(\begin{array}{cc}
2√2a&b\
-b&-√2a
\end{array})に対して，以下の問に答えよ．
(1)実数p,qがA2=pA+qEを満たすとき，p,qをaを用いて表せ．ただし，Eは2次の単位行列とする．
(2)a=\frac{1}{√2}のとき，Σ_{k=1}^{100}(-1)kAkを求めよ．
(3)a=\frac{1}{√2}とし，mを正の整数とする．xとyについての方程式A・・・

　国立 岐阜大学 2013年 第6問

中心を点Oとする半径1の円に内接する正六角形H1があり，その頂点を反時計回りにA1，B1，C1，D1，E1，F1とする．辺A1B1上に点A2を∠A1OA2=15°を満たすようにとり，辺B1C1上に点B2を∠B1OB2=15°を満たすようにとる．同様に，図のように辺C1D1，D1E1，E1F1，F1A1上にそれぞれ点C2・・・

　国立 長崎大学 2013年 第3問

nを2以上の整数とする．n個の実数a1,a2,・・・,anが与えられたとき，
Pn=(a1+a2+・・・+an)2,Qn={a1}2+{a2}2+・・・+{an}2
とおく．次に，1≦i＜j≦nを満たすすべての番号i,jに対するaiajの和をRnとする．たとえば，R2=a1a2，R3=a1a2+a1a3+a2a3である．同様に，1≦i＜j≦nを満たすすべての番号i,jに対する(ai-aj)2の和をSnとする．たとえば，S2=(a1-a2)2，S3=(a1-a2)2+(a1-a3)2+(a2-a3)2である．次の問いに答えよ．
・・・

　国立 鳴門教育大学 2013年 第1問

5で割ったときの商が余りよりも小さくかつ0以上の整数であるような正の整数をすべて求めよ．

　国立 京都教育大学 2013年 第5問

百の位がa，十の位がb，一の位がcである1以上999以下の整数がある．ただし，この整数が99以下のときは百の位が0であるとみなし，さらに9以下のときは十の位も0であるとみなす．この整数が各位の数の和の3乗に等しいとき次の問に答えよ．
(1)(a+b+c)3-(a+b+c)は9の倍数であることを証明せよ．
(2)多項式(x+y+z)3-(x+y+z)を因数分解せよ．
(3)このような整数をすべて求めよ．

　私立 自治医科大学 2013年 第3問

47^{100}は168桁の整数である．47^{17}の桁数を(20+n)で表すとき，nの値を求めよ．ただし，nは自然数とする．

　私立 東北学院大学 2013年 第1問

次の各問題の[]に適する答えを記入せよ．
(1)\sqrt{2+√3}+\sqrt{2-√3}を簡単にすると[ア]となる．
(2)(0.98)n＜0.5となる最小の整数nは[イ]である．ただしlog_{10}2=0.3010，log_{10}7=0.8451とする．
(3)和\frac{1}{2・5}+\frac{1}{5・8}+\frac{1}{8・11}+・・・+\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}を求めると[ウ]となる．