「整数」について

　公立 鳥取環境大学 2013年 第5問

以下の問に答えよ．
(1)次の(i)～(iii)の文章が命題であれば真偽を答えよ．また真の場合は理由を示し，偽の場合は反例を示せ．命題でない場合は「命題でない」と答えよ．
(i)xが整数ならばx2≧0である．
(ii)nが2以上の整数であるとき2n-1はすべて素数である．
(iii)数学は美しい．
(2)次の(i)～\tokeigoの[]の中に，必要条件であるが十分条件でない，十分条件であるが必要条件でない・・・

　公立 富山県立大学 2013年 第2問

2から21までの整数がそれぞれ1つずつ書かれた20個のボールが，箱の中に入っている．まず，箱の中の20個のボールから1個を取り出し，そのボールに書かれた数をpとする．次に，箱の中の19個のボールから1個を取り出し，そのボールに書かれた数をqとする．このとき，次の確率を求めよ．
(1)log_{10}(p+q)=1となる確率
(2)log_{10}p＞log_{10}qとなる確率
(3)logpq＞2となる確率
(4)2logpqが整数となる確率

　公立 岐阜薬科大学 2013年 第4問

2点(2,1)，(1,1)をそれぞれ(3,-8)，(2,-5)に移す1次変換をfとするとき，次の問いに答えよ．
(1)fを表す行列Aを求めよ．
(2)A2,A3を求めよ．
(3)A+A2+A3+・・・+Anを求めよ．ただし，nは正の整数とする．

　公立 岐阜薬科大学 2013年 第5問

1辺の長さが1の正六角形ABCDEFの辺上を動く点Pがある．頂点Aを出発して，さいころを振るごとに，奇数の目が出たときは時計回りに1動き，偶数の目が出たときは反時計回りに2動くという試行を繰り返し，再び頂点Aに戻ったとき試行を終了する．
(1)3回の試行すべてにおいて偶数の目が出て，試行を終了する確率を求めよ．
(2)3回の試行後，点Pが頂点A，B，C，D，E，Fにいる確率をそれぞれ求めよ．
(3)3k回の試行後・・・

　公立 横浜市立大学 2013年 第2問

aを正の定数とする．nを0以上の整数とし，多項式Pn(x)をn階微分を用いて
Pn(x)=\frac{dn}{dxn}(x2-a2)n(n≧1),P0(x)=1
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)n=2およびn=3に対して
P2(-a),P3(-a)
を求めよ．
(2)u=u(x)，v=v(x)を何回でも微分可能な関数とする．そのとき，{\bfライプニッツの公式}
(uv)^{(n)}=\comb{n}{0}u^{(n)}v+\comb{n}{1}u^{(n-1)}v´+・・・+\comb{n}{k}u^{(n-k)}v^{(k)}+・・・+\comb{n}{n-1}u´v^{(n-1)}+\comb{n}・・・

　公立 北九州市立大学 2013年 第1問

以下の問いの空欄[ア]～[コ]に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．
(1)\sqrt{6+4√2}の小数部分をaとすると，a=[ア]，a2-\frac{1}{a2}=[イ]となる．
(2)2次関数y=3x2-6x+a+6(0≦x≦3)の最小値が5となるような定数aの値は[ウ]である．また，このとき最大値は[エ]である．
(3)0,1,2,3,4,5の6個の数字から異なる3個の数字を取り出して並べ，3桁の整数を作るとき・・・

　公立 奈良県立医科大学 2013年 第13問

不等式\sqrt{a/20}＜cosπ/8＜\sqrt{\frac{a+1}{20}}を満たす整数aを求めよ．

　公立 福岡女子大学 2013年 第1問

箱の中に，赤，青，黄，白，黒の5種類の色のボールがそれぞれ2個ずつ入っており，全部で10個ある．10個のボールには異なる番号が付けられている．以下の問に答えなさい．ただし，すべて整数値で解答しなさい．
(1)同時に3個取り出す場合の数を求めなさい．
(2)同時に3個取り出すとき，赤のボールが含まれる場合の数を求めなさい．

　国立 東京大学 2012年 第4問

nを2以上の整数とする．自然数（1以上の整数）のn乗になる数をn乗数と呼ぶことにする．以下の問いに答えよ．
(1)連続する2個の自然数の積はn乗数でないことを示せ．
(2)連続するn個の自然数の積はn乗数でないことを示せ．

　国立 東京大学 2012年 第5問

行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}\biggr)が次の条件(D)を満たすとする．
\mon[(D)]Aの成分a，b，c，dは整数である．また，平面上の4点(0,0)，(a,b)，(a+c,b+d)，(c,d)は，面積1の平行四辺形の4つの頂点をなす．
B=\biggl(\begin{array}{cc}
1&1\\
0&1
\end{array}\biggr)とおく．次の問いに答えよ．
(1)行列BAとB^{-1}Aも条件(D)を満たすことを示せ．
(2)c=0ならば，AにB，B^{-1}のどちらかを左から・・・