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次の各問に答えよ．
(1)2つの曲線y=x4とy=x2+2とによって囲まれる図形の面積を求めよ．
(2)nを3以上の整数とする．1からnまでの番号をつけたn枚の札の組が2つある．これら2n枚の札をよく混ぜ合わせて，札を1枚ずつ3回取り出し，取り出した順にその番号をX1,X2,X3とする．X1＜X2＜X3となる確率を求めよ．ただし一度取り出した札は元に戻さないものとする．
国立 一橋大学 2012年 第1問1つの角が120°の三角形がある．この三角形の3辺の長さx,y,zはx＜y＜zを満たす整数である．
(1)x+y-z=2を満たすx,y,zの組をすべて求めよ．
(2)x+y-z=3を満たすx,y,zの組をすべて求めよ．
(3)a,bを0以上の整数とする．x+y-z=2a3bを満たすx,y,zの組の個数をaとbの式で表せ．
国立 名古屋大学 2012年 第2問f0(x)=xexとして，正の整数nに対して，
fn(x)=∫_{-x}^{x}f_{n-1}(t)dt+f^{\;\prime}_{n-1}(x)
により実数xの関数fn(x)を定める．
(1)f1(x)を求めよ．
(2)g(x)=∫_{-x}x(at+b)etdtとするとき，定積分∫_{-c}cg(x)dxを求めよ．ただし，実数a,b,cは定数とする．
(3)正の整数nに対して，f_{2n}(x)を求めよ．
国立 名古屋大学 2012年 第3問nを2以上の整数とする．1からnまでの整数が1つずつ書かれているn枚のカードがある．ただし，異なるカードには異なる整数が書かれているものとする．このn枚のカードから，1枚のカードを無作為に取り出して，書かれた整数を調べてからもとに戻す．この試行を3回繰り返し，取り出したカードに書かれた整数の最小値をX，最大値をYとする．次の問に答えよ．ただし，jとkは正の整数で，j+k≦nを満たすとする．また，sはn-1以下の正の整数とする．
(1)X≧jかつY≦j+kとなる確率を求めよ・・・
国立 名古屋大学 2012年 第4問m,pを3以上の奇数とし，mはpで割り切れないとする．
(1)(x-1)^{101}の展開式におけるx2の項の係数を求めよ．
(2)(p-1)m+1はpで割り切れることを示せ．
(3)(p-1)m+1はp2で割り切れないことを示せ．
(4)rを正の整数とし，s=3^{r-1}mとする．2s+1は3rで割り切れることを示せ．
国立 岡山大学 2012年 第2問正n角形の頂点をA0，A1，・・・，A_{n-1}とする．頂点A1，A2，・・・，A_{n-1}から2点をとり，それらとA0を頂点とする三角形を作る．このようにして得られる三角形の総数をan，そのうちの二等辺三角形の総数をbnとする．ただし正三角形は二等辺三角形とみなす．このとき以下の問いに答えよ．
(1)a6およびb6を求めよ．
(2)整数m≧3に対し，S=Σ_{k=3}makを求めよ．
(3)b9を求めよ．
国立 名古屋大学 2012年 第2問nを2以上の整数とする．1からnまでの整数が1つずつ書かれているn枚のカードがある．ただし，異なるカードには異なる整数が書かれているものとする．このn枚のカードから，1枚のカードを無作為に取り出して，書かれた整数を調べてからもとに戻す．この試行を3回繰り返し，取り出したカードに書かれた整数の最小値をX，最大値をYとする．次の問に答えよ．ただし，jとkは正の整数で，j+k≦nを満たすとする．また，sはn-1以下の正の整数とする．
(1)X≧jかつY≦j+kとなる確率を求めよ・・・
国立 名古屋大学 2012年 第3問mを正の奇数とする．
(1)(x-1)^{101}の展開式におけるx2の項の係数を求めよ．
(2)pを正の整数とするとき，(p-1)m+1はpで割り切れることを示せ．
(3)rを正の整数とし，s=3^{r-1}mとする．2s+1は3rで割り切れることを示せ．
国立 埼玉大学 2012年 第1問座標平面上の点P(x,y)の座標の値xとyがともに整数であるとき，点Pを平面上の格子点と呼ぶ．このとき下記の設問に答えなさい．
(1)不等式|x|+|y|＜3の表す領域Aを図示しなさい．また，領域A内の格子点の個数を求めなさい．
(2)不等式x2+y≦2の表す領域Bを図示しなさい．また，領域B内の格子点の個数を求めなさい．
(3)2つの不等式x2≦a2,y2≦a2の表す領域をCとする．領域A内の格子点全体から領域B内のすべての格子点を除いた集合をDとする．領域C・・・
国立 千葉大学 2012年 第4問p,qを互いに素な2以上の整数，m,nはm＜nなる正の整数とする．このとき，分母がp2q2で，分子がpでもqでも割り切れない分数のうち，mよりも大きくnよりも小さいものの総数を求めよ．
