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100人の団体がある区間を列車で移動する．このとき，乗車券が7枚入った480円のセットAと，乗車券が3枚入った220円のセットBを購入して，利用することにした．以下の問いに答えよ．
(1)xが0以上の整数であるとき，次のことを示せ．\\
1/3(100-7x)は，xを3で割ったときの余りが1の場合に整数であり，\\
それ以外の場合は整数ではない．
(2)購入した乗車券は，余らせずすべて利用するものとする．このとき，セットAとセットBの購入の仕方をすべて挙げよ．
(3)購入した乗車券は余・・・
国立 静岡大学 2012年 第2問行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array})が
A2-4A+3E=O
を満たしている．ただし，Eは2次の単位行列，Oは2次の零行列とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)a+dのとり得るすべての値を求めよ．
(2)aが整数でb=cとなるようなAをすべて求めよ．
国立 横浜国立大学 2012年 第3問次の問いに答えよ．
(1)kを0以上の整数とするとき，
x/3+y/2≦k
を満たす0以上の整数x,yの組(x,y)の個数をakとする．akをkの式で表せ．
(2)nを0以上の整数とするとき，
x/3+y/2+z≦k
を満たす0以上の整数x,y,zの組(x,y,z)の個数をbnとする．bnをnの式で表せ．
国立 横浜国立大学 2012年 第2問次の問いに答えよ．
(1)kを0以上の整数とするとき，
x/3+y/2≦k
を満たす0以上の整数x,yの組(x,y)の個数をakとする．akをkの式で表せ．
(2)nを0以上の整数とするとき，
x/3+y/2+z≦k
を満たす0以上の整数x,y,zの組(x,y,z)の個数をbnとする．bnをnの式で表せ．
国立 静岡大学 2012年 第3問行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array})が
A2-4A+3E=O
を満たしている．ただし，Eは2次の単位行列，Oは2次の零行列とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)a+dのとり得るすべての値を求めよ．
(2)aが整数でb=cとなるようなAをすべて求めよ．
国立 広島大学 2012年 第4問Nは4以上の整数とする．次の規則にしたがって1個のさいころを繰り返し投げる．
規則:出た目を毎回記録し，偶数の目が3回出るか，あるいは奇数の目がN回出たところで，さいころを投げる操作を終了する．
ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．
(1)さいころを投げる回数は，最大で何回か．
(2)さいころを3回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(3)さいころをN回投げて操作を終了する確率を求めよ．
(4)最後に奇数の目が出・・・
国立 広島大学 2012年 第5問nは3以上の整数とする．1からnまでの整数から連続する2つの整数x,x+1を取り除く．次の問いに答えよ．
(1)n=17のとき，残された整数の総和を個数15で割った値が42/5であったとする．取り除いた2つの整数を求めよ．
(2)n≧39のとき，不等式
1/2n(n+1)-1-2(n-1)＞\frac{205}{11}(n-2)
が成り立つことを証明せよ．
(3)残された整数の総和を個数n-2で割った値が\frac{205}{11}であるとする．nと取り除いた2つの整数を求めよ．
\・・・
国立 九州大学 2012年 第4問pとqはともに整数であるとする．2次方程式x2+px+q=0が実数解α,βを持ち，条件(|α|-1)(|β|-1)≠0をみたしているとする．このとき，数列{an}を
an=(αn-1)(βn-1)(n=1,2,・・・)
によって定義する．以下の問いに答えよ．
(1)a1,a2,a3は整数であることを示せ．
(2)(|α|-1)(|β|-1)＞0のとき，極限値\lim_{n→∞}|\frac{a_{n+1}}{an}|は整数であることを示せ．
(3)\l・・・
国立 東京工業大学 2012年 第2問次の問いに答えよ．
(1)log_{10}3=0.4771として，Σ_{n=0}^{99}3nの桁数を求めよ．
(2)実数aに対して，aを超えない最大の整数を[a]で表す．10000以下の正の整数nで[√n]がnの約数となるものは何個あるか．
国立 東京工業大学 2012年 第4問nを正の整数とする．数列{ak}を
a1=\frac{1}{n(n+1)},a_{k+1}=-\frac{1}{k+n+1}+n/kΣ_{i=1}kai(k=1,2,3,・・・)
によって定める．
(1)a2およびa3を求めよ．
(2)一般項akを求めよ．
(3)bn=Σ_{k=1}n\sqrt{ak}とおくとき，\lim_{n→∞}bn=log2を示せ．