「整数」について

　国立 防衛医科大学校 2012年 第1問

以下の問に答えよ．
(1)以下の条件(ア)，(イ)を満たす正の整数は，小さい順に並べると，等差数列になる．この数列の初項と公差を求めよ．
\mon[(ア)]13で割ると余りが2となる．
\mon[(イ)]11で割ると商が奇数，余りが3となる．
(2)正六角形ABCDEFの辺CDの中点をM，CEとAMの交点をNとする．このとき，△NEAの面積は△NCMの面積の何倍となるか．
(3)極限値\lim_{n→\・・・

　国立 防衛医科大学校 2012年 第4問

n,rはn≧rを満たす正の整数であるとし，x,yともに0以上n以下の整数であるような座標平面上の点(x,y)の集合をSとする．また，曲線x2+y2=r2(x≧0,y≧0)，x軸，y軸によって囲まれる領域(境界を含む)をDとする．ここで，Sからランダムに1点を選ぶ試行を考える．このとき，以下の問に答えよ．
(1)n=10,r=5のとき，選ばれた点がD内にある確率はいくらか．
(2)[x]はxを超えない最大の整数を表す記号である．直線x=t上の点でDに含まれるSの要素の個・・・

　国立 熊本大学 2012年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)kを整数とするとき，xの方程式x2-k2=12が整数解をもつようなkの値をすべて求めよ．
(2)xの方程式(2a-1)x2+(3a+2)x+a+2=0が少なくとも1つ整数解をもつような整数aの値とそのときの整数解をすべて求めよ．

　国立 熊本大学 2012年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)kを整数とするとき，xの方程式x2-k2=12が整数解をもつようなkの値をすべて求めよ．
(2)xの方程式(2a-1)x2+(3a+2)x+a+2=0が少なくとも1つ整数解をもつような整数aの値とそのときの整数解をすべて求めよ．

　国立 千葉大学 2012年 第8問

すべての項が整数である数列を整数列という．p,q,r,sを実数とし，正の整数nに対し
an=p+qn+rn2,bn=p+qn+rn2+sn3
とおく．このとき以下の命題を示せ．
(1)数列{an}が整数列ならば，2rは整数である．
(2)数列{bn}が整数列であるための必要十分条件は，pとq+r+sと2rと6sがいずれも整数となることである．

　国立 千葉大学 2012年 第12問

ℓ,n,dを自然数とする．このとき自然数の積(2ℓ+1)ndは，ある自然数aと2以上の整数mを用いて
(2ℓ+1)nd=Σ_{i=1}m{a+(i-1)d}
と表せることを証明せよ．

　国立 奈良女子大学 2012年 第3問

aとbは異なる整数で，ともに0以上9以下とする．有理数xが次のように循環小数で表されているとする．
x=0.abababab・・・
次の問いに答えよ．
(1)99xは自然数であることを示せ．
(2)33xが自然数となるようなxを1つ求めよ．
(3)11xが自然数となるときのa+bの値を求めよ．

　国立 高知大学 2012年 第2問

nを自然数とし，3つの不等式y≦-x/n+2,x≧0,y≧0をすべてみたす整数の組(x,y)の個数をanとする．次の問いに答えよ．
(1)a1,a2の値を求めよ．
(2)a_{n+1}をanで表せ．
(3)anをnの式で表せ．
(4)Sn=a1+a2+・・・+anとする．このとき，Sn=510となるnを求めよ．

　国立 佐賀大学 2012年 第2問

0以上の整数nに対して，fn(x)=\frac{xne^{-x}}{n!}とおく．ただし，0!=1とし，eは自然対数の底とする．次の問いに答えよ．
(1)n≧1のとき，fn(x)の導関数をfn(x),f_{n-1}(x)を用いて表せ．
(2)Σ_{k=0}nfk(x)の導関数を求めよ．
(3)∫01fn(x)dxを求めよ．
(4)e＞Σ_{k=0}n1/k!を示せ．

　国立 鳥取大学 2012年 第2問

a,b,cを正の整数とするとき，等式
(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)=2・・・(*)
について次の問いに答えよ．
(1)c=1のとき，等式(*)を満たす正の整数a,bは存在しないことを示せ．
(2)c=2のとき，等式(*)を満たす正の整数aとbの組でa≧bを満たすものをすべて求めよ．
(3)等式(*)を満たす正の整数の組(a,b,c)でa≧b≧cを満たすものをすべて求めよ．