「整数」について

　国立 富山大学 2012年 第3問

行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
0&x\\
y&z
\end{array}\biggr),B=\biggl(\begin{array}{cc}
0&w\\
w&0
\end{array}\biggr)は次の条件(ア)，(イ)を満たしているとする．
\mon[(ア)]A2+A+E=O
\mon[(イ)]B2=E
ただし，E=\biggl(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array}\biggr),O=\biggl(\begin{array}{cc}
0&0\\
0&0
\end{array}\biggr)である．
(1)x,y,z,wがすべて整数でx＜ywを満たすとき，x,y,z,wを求めよ．
\mon・・・

　国立 富山大学 2012年 第3問

行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
0&x\\
y&z
\end{array}\biggr),B=\biggl(\begin{array}{cc}
0&w\\
w&0
\end{array}\biggr)は次の条件(ア)，(イ)を満たしているとする．
\mon[(ア)]A2+A+E=O
\mon[(イ)]B2=E
ただし，E=\biggl(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array}\biggr),O=\biggl(\begin{array}{cc}
0&0\\
0&0
\end{array}\biggr)である．
(1)x,y,z,wがすべて整数でx＜ywを満たすとき，x,y,z,wを求めよ．
\mon・・・

　国立 鹿児島大学 2012年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)KADAIという語の5文字を並べて得られる順列のうち，2つのAが隣り合わないものの総数を求めよ．
(2)x2-9x+14＞0を満たさない整数xで，3の倍数でないものをすべて求めよ．
(3)三角形ABCにおいて，辺ABの中点をD，辺ACの中点をEとする．BE=CDならばAB=ACであることを示せ．

　国立 新潟大学 2012年 第4問

箱の中に1から9までの異なる整数が1つずつ書かれたカードが9枚入っている．「箱からカードを1枚引き，カードに書かれた整数を記録して箱の中に戻す」という操作を3回繰り返す．記録された3つの整数の最小値をm，最大値をMとする．次の問いに答えよ．
(1)m=Mとなる確率を求めよ．
(2)5＜mとなる確率およびM＜5となる確率を求めよ．
(3)m≦5≦Mとなる確率を求めよ．

　国立 新潟大学 2012年 第4問

箱の中に1から9までの異なる整数が1つずつ書かれたカードが9枚入っている．「箱からカードを1枚引き，カードに書かれた整数を記録して箱の中に戻す」という操作を3回繰り返す．記録された3つの整数の最小値をm，最大値をMとする．次の問いに答えよ．
(1)5＜mとなる確率およびM＜5となる確率を求めよ．
(2)m≦5≦Mとなる確率を求めよ．
(3)k=1,2,・・・,9に対して，m≦k≦Mとなる確率をp(k)とする．p(k)の最大値，最小値を求めよ．

　国立 秋田大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)実数x,yについて，
4x2+12y2-12xy+4x-18y+7
の最小値，およびそのときのx,yの値を求めよ．
(2)aを負の実数とする．
4x2+12y2-12xy+4x-18y+7=a
を満たすx,yが隣り合う整数のとき，aの最大値，およびそのときのx,yの値を求めよ．

　国立 鹿児島大学 2012年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)KADAIという語の5文字を並べて得られる順列のうち，2つのAが隣り合わないものの総数を求めよ．
(2)x2-9x+14＞0を満たさない整数xで，3の倍数でないものをすべて求めよ．
(3)三角形ABCにおいて，辺ABの中点をD，辺ACの中点をEとする．BE=CDならばAB=ACであることを示せ．

　国立 鹿児島大学 2012年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)KADAIという語の5文字を並べて得られる順列のうち，2つのAが隣り合わないものの総数を求めよ．
(2)x2-9x+14＞0を満たさない整数xで，3の倍数でないものをすべて求めよ．
(3)三角形ABCにおいて，辺ABの中点をD，辺ACの中点をEとする．BE=CDならばAB=ACであることを示せ．

　国立 三重大学 2012年 第1問

実数xに対し，[x]をx以下の最大の整数とする．たとえば，[2]=2,[7/5]=1である．数列{ak}を
ak=[3k/5](k=1,2,・・・)
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)a1,a2,a3,a4,a5を求めよ．
(2)a_{k+5}=ak+3(k=1,2,・・・)を示せ．
(3)自然数nに対して，Σ_{k=1}^{5n}akを求めよ．

　国立 三重大学 2012年 第1問

実数xに対し，[x]をx以下の最大の整数とする．たとえば，[2]=2,[7/5]=1である．数列{ak}を
ak=[3k/5](k=1,2,・・・)
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)a1,a2,a3,a4,a5を求めよ．
(2)a_{k+5}=ak+3(k=1,2,・・・)を示せ．
(3)自然数nに対して，Σ_{k=1}^{5n}akを求めよ．