「整数」について

　国立 福井大学 2012年 第3問

数列{an}は正の整数からなる数列で，a1=1,a3=5,a5=41である．また，ある定数s,tについて
a_{n+1}=san+t(n=1,2,3,・・・)
が成り立っている．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)s,tの値を求めよ．
(2)数列{an}の一般項を求めよ．
(3)正の整数nに対して，Sn=Σ_{k=1}n(-1)^{ak}akをnの式で表せ．

　国立 福井大学 2012年 第2問

数列{an}は正の整数からなる数列で，a1=1,a3=5,a5=41である．また，ある定数s,tについて
a_{n+1}=san+t(n=1,2,3,・・・)
が成り立っている．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)s,tの値を求めよ．
(2)一般項anを求めよ．さらにa_{3n-2}はanで割り切れることを示せ．
(3)a_{n+1}をanで割った余りをbnとする．2以上の正の整数mに対して，次の和を求めよ．
Σ_{k=2}m\frac{ak+bk}{bkb_{k+1}}

　国立 山形大学 2012年 第3問

正の整数からなる数列{an}がn=1,2,3,・・・に対して
n(\frac{1}{an}+\frac{1}{a_{n+1}})＜2,2+\frac{1}{a_{n+1}}＜(n+1)(\frac{1}{an}+\frac{1}{a_{n+1}})
を満たし，かつa2=2とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)a1を求めよ．
(2)a3を求めよ．
(3)一般項anを推定し，それが正しいことを証明せよ．
(4)Σ_{k=1}n\frac{1}{\sqrt{a_{k+1}}+\sqrt{ak}}を求めよ．

　国立 滋賀医科大学 2012年 第2問

pを定数とする．初項a1=1の数列{an}(n=1,2,3,・・・)を次のように定める．
a_{n+1}-\frac{an}{2}　は整数，かつ　-1/2＜a_{n+1}-p≦1/2(n=1,2,3,・・・)
(1)p=0のとき，数列{an}の極限\lim_{n→∞}anを求めよ．
(2)p=1のとき，bn=a_{2n}(n=1,2,3,・・・)で定まる数列{bn}の極限\lim_{n→∞}bnを求めよ．
(3)p=1のとき，数列{an}は収束するかどうか，理由を付けて答えよ．

　国立 滋賀医科大学 2012年 第3問

正の整数nに対して，fn(x)=Σ_{k=1}n(-1)^{k+1}(\frac{x^{2k-1}}{2k-1}+\frac{x^{2k}}{2k})を考える．
(1)導関数fn´(x)を求めよ．ただし和の記号Σを用いずに表せ．
(2)∫01\frac{1+x}{1+x2}dxを求めよ．
(3)\lim_{n→∞}fn(1)を求めよ．

　国立 福井大学 2012年 第4問

行列A=(\begin{array}{cc}
2&-3\
3&2
\end{array})で表される1次変換をfとする．fによって，点P0(1,0)が移る点をP1(x1,y1)，正の整数nに対して点Pn(xn,yn)が移る点をP_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})とする．原点をOとして，以下の問いに答えよ．
(1)cos∠PnOP_{n+1}の値を求めよ．
(2)2以上の整数nで，直線OPnが線分P0P1と交わる最小のnを求めよ．
(3)iを虚数単位とする．0で・・・

　国立 長崎大学 2012年 第8問

実数x,yが連立不等式
{
\begin{array}{ll}
10^{10}＜2x3y＜10^{11}&・・・・・・(A)\\
109＜3x2y＜10^{10}&・・・・・・(B)
\end{array}
.
を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)連立不等式(A)，(B)が表すxy平面上の領域は，どのような図形であるか答えよ．また，その理由を述べよ．
(2)連立不等式(A)，(B)を満たす実数x,yにおいて，x+yがとりうる値の範囲，およびy-xがとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ．
(3)連立不等式(\ten{・・・

　国立 電気通信大学 2012年 第4問

次の条件をみたす2次正方行列A,Bを考える．
AB=-E,A-B=E(E　は単位行列　)
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)A2-Aを求めよ．
(2)A3を求めよ．
(3)An=Eとなる最小の正の整数nを求めよ．
(4)A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})とするとき，a+d,ad-bcの値をそれぞれ求めよ．ただし，a,b,c,dは実数とする．
(5)A(\begin{array}{c}
1\
0
\end{array})=(\begin{array}{c}
3\
1
\end{array}・・・

　国立 金沢大学 2012年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)f(t)を0≦t≦1で連続な関数とする．tanx=tとおいて，
∫0^{π/4}\frac{f(tanx)}{cos2x}dx=∫01f(t)dt
であることを示せ．
(2)(1)を用いて，0以上の整数nに対し，∫0^{π/4}\frac{tannx}{cos2x}dxの値を求めよ．また，
∫0^{π/4}tannxdx≦\frac{1}{n+1}
を示せ．
(3)0以上の整数nと0≦x≦π/4を満たすxに対し，
\・・・

　国立 浜松医科大学 2012年 第4問

1個のさいころを3回投げる．1回目，2回目，3回目に出る目の数をそれぞれX1,X2,X3として，3つの確率変数
Y=4X1+X2,Z1=2X1+3X2,Z2=2X1+3X3
を定める．1から6までの目は等確率で出るものとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)数の集合U={x\;|\;x　は整数かつ　5≦x≦30}を全体集合として，
\begin{array}{l}
S={x\;\bigg|\;x\inU　かつ　P(Y=x)＞1/36}\\\
T={x\;\bigg|\・・・