「整数」について

　私立 上智大学 2012年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)0≦x≦πにおいて
y=sinx+2cos(x-π/6)
の最大値は\sqrt{[ア]}であり，最小値は-\sqrt{[イ]}である．
(2)xy=4x-y+28を満たす正の整数x,yの組(x,y)は全部で[ウ]組ある．
(3)放物線y=1/2x2は，x軸方向に[エ]，y軸方向に\frac{[オ]}{[カ]}だけ平行移動すると，直線y=-xと直線y=3xの両方に接する．
(4)実数x,yがx2+xy+2y2=1・・・

　私立 明治大学 2012年 第1問

次の各問の[]にあてはまる数または式を入れよ．
(1)sinθ+cosθ=1/2のとき，sinθcosθ=-\frac{[ア]}{[イ]}である．　　　　　
(2)不等式|5x-41|＜2x+1を満たす整数xの最大値は[ア][イ]であり，最小値は[ウ]である．
(3)(x-3y+z)6の展開式における，x2y2z2の項の係数は[ア][イ][ウ]である．
(4)四面体ABCDにおいて，2辺AC，BDの中点をそれぞれ\ten・・・

　私立 明治大学 2012年 第1問

空欄[]に当てはまるものを入れよ．
(1)5個の数字0，1，2，3，4を並べて5桁の整数を作る．小さい順にこれらの整数を並べたとき，57番目の整数は\fbox{\footnotesize\phantom{a}アイウエオ\phantom{a}}である．また，偶数である整数は[カキ]個あり，4の倍数である整数は[クケ]個ある．
(2)次の連立方程式
{\begin{array}{l}
logxy+2logyx=3\
logx(y2+xy)=2
\end{array}.
の解はx=\frac{-[コ]+\sqrt{[サ]}}{\ka・・・

　私立 東京慈恵会医科大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．問い(1)～(3)については，[]にあてはまる適切な数値を記入せよ．
(1)xの2次不等式
6x2-(16a+7)x+(2a+1)(5a+2)＜0
をみたす整数xが10個となるように，正の整数aの値を定めると[ア]である．
(2)三角形ABCにおいて，AB=√2，BC=2，CA=√3とし外心をOとする．このとき，ベクトルAO=sベクトルAB+tベクトルACをみたす実数s,tの値はs=[イ],t=[ウ]である．
(3)袋Aには赤玉2個と白玉・・・

　私立 東京慈恵会医科大学 2012年 第3問

nを3以上の整数とする．xyz空間の平面z=0上に，1辺の長さが4の正n角形Pがあり，Pの外接円の中心をGとおく．半径1の球Bの中心がPの辺に沿って1周するとき，Bが通過してできる立体をKnとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)Pの隣り合う2つの頂点P1，P2をとる．Gから辺P1P2に下ろした垂線とP1P2との交点をQとするとき，GQ＞1となることを示せ．
(2)次の各問に答えよ．
\mon[・・・

　私立 上智大学 2012年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)5個の数字0,1,2,3,4を重複なく使ってできる5桁の整数を小さい方から順に並べたとき，70番目の数を100で割った余りは[ア]である．
(2)16^{log23}=[イ]である．
(3)mn=1024を満たす自然数の組(m,n)は[ウ]通りある．その中で最小のmは[エ]，最小のnは[オ]である．
(4)xの式(1+x+ax2)6を展開したときのx4の係数は，a=[カ]のときに最小値[キ]をとる．

　私立 明治大学 2012年 第3問

次の空欄[ア]から[キ]に当てはまるものを答えよ．ただし，自然数とは1以上の整数のことである．
行列A,B,EをA=(\begin{array}{rr}
1&0\
0&-1
\end{array})，B=(\begin{array}{rr}
0&-1\
1&0
\end{array})，E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})とする．
M0=Eとし，さいころをふって偶数が出ればAを左からかけ，奇数が出ればBを左からかける操作をn回繰り返すことにより行列Mnを・・・

　私立 上智大学 2012年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)関数f(x)を
f(x)=log432x-log864x+log_{16}8x
とする．5≦f(x)≦10となるためにの必要十分条件は
2a≦x≦2b,a=[ア],b=[イ]
である．
(2)関数g(x)を
g(x)=4cos2x/2+2sin2x/2+√3sinx
とする．0≦x＜2πとすると，x=\frac{[ウ]}{[エ]}πのときg(x)は最大値をとる．
(3)mとnをm≧nを満たす正の整数とする．3辺の長さがそれぞ・・・

　私立 法政大学 2012年 第2問

f(x)=x2-5として，数列{an}を次のように定義する．\\
a1=3，点(an,f(an))における曲線y=f(x)の接線がx軸と交わる点のx座標をa_{n+1}とする(n=1,2,3,・・・)。\\
次の問いに答えよ．
(1)a_{n+1}をanで表せ．
(2)命題P(n)を\lceil√5＜a_{n+1}＜an\rfloorとするとき，すべての正の整数nに対してP(n)が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)次の不等式が共に成り立つ1より小さい正の数rが存在することを示せ．
\mon・・・

　私立 法政大学 2012年 第2問

0から6までの7個の数字の中から異なる3個の数字を用いて，3桁の整数をつくる．
(1)5の倍数は全部で何個できるか．
(2)一の位，十の位，百の位にある3つの数の積が5の倍数となるものは全部で何個できるか．なお，0は5の倍数である．
(3)一の位，十の位，百の位にある3つの数の和が5の倍数となるものは全部で何個できるか．