「整数」について

　私立 中央大学 2012年 第2問

整数nに対し，
fn(x)=3nx(x＞0)
と定める．このとき以下の設問に答えよ．
(1)1/10≦fn(3)＜\frac{243}{10}となるnをすべて求めよ．
(2)正の実数xに対し，1/10≦fn(x)＜\frac{243}{10}を満たすnの個数をN(x)とする．N(3)+N(3.5)+N(4)+N(4.5)の値を求めよ．

　私立 上智大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)△OABに対し，
ベクトルOP=sベクトルOA+tベクトルOB,s≧0,t≧0
とする．また，△OABの面積をSとする．
(i)1≦s+t≦3のとき，点Pの存在しうる領域の面積はSの[ア]倍である．
(ii)1≦s+2t≦3のとき，点Pの存在しうる領域の面積はSの[イ]倍である．
(2)(√2)nはnが奇数のとき無理数である．よ・・・

　私立 中央大学 2012年 第1問

次の問に答えよ．
(1)a＞0，a≠1，M＞0とする．aを底とするMの対数logaMの定義を述べよ．
(2)(1)で述べた定義に基づいて底の変換公式logaM=\frac{logbM}{logba}を証明せよ．ただし，a,b,Mは正の実数で，a≠1，b≠1である．
(3)mlog3p+nlog9q=2を満たす正の整数m,nが存在するような正の整数の組(p,q)をすべて求めよ．

　私立 中央大学 2012年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)次の3次式を1次式の積に因数分解せよ．
x3-2x2-5x+6
(2)xについての2次方程式
x2-2kx+3k-2=0
が，相異なる2つの実数解を持つような，定数kの値の範囲を求めよ．
(3)xの変域が-1≦x≦2であるときの2次関数
y=2x2-3x+1
の最大値と最小値を求めよ．
(4)5個の数字1,2,3,4,5を一回ずつ使って4桁の数を作る．このとき3215以上の数はいくつあるか求めよ．
(5)2^{1000}は何桁の数になるか．ただし，log_{10}2=0.30103とす・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第1問

次の文章中の[ア]から[ヒ]までに当てはまる数字0～9を求めよ．ただし，分数は既約分数として表しなさい．
(1)aを実数とするとき，方程式
|x|-|x2-4|+|x+6|=a
を考える．この方程式の実数解が2個であるための条件は
a＜[ア],[イ]＜a＜[ウ][エ]
であり，実数解を持たないための条件は
a＞[オ][カ]
である．また，次の不等式
|x|-|x2-4|+|x+6|＞2
には，正の整数解が[キ]個，負の整数解が[ク]個あ・・・

　私立 慶應義塾大学 2012年 第2問

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．
xy平面上で点Pはx軸上に，点Qはy軸上に置かれ，点Pのx座標と点Qのy座標はそれぞれ-2以上2以下の整数であるとする．点P，Qに対して次の操作を考える．
\begin{screen}
{\bf操作}\
点Pの座標が(i,0)，点Qの座標が(0,j)であるとき次の規則に従って2点P，Qを互いに独立に同時に処理する．
\mon[(P1)]-1\le・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第3問

数直線上に動点Pがある．1個のさいころを投げるという試行によりPを次の規則にしたがって，数直線上を移動させる．
(A)出た目の数が偶数であったら負の方向に1だけ移動させる．
(B)出た目の数が1であったら0だけ移動させる（その点にとどまる）．
(C)(A)，(B)以外であったら正の方向に2だけ移動させる．
最初動点Pは原点Oにあるものとする．
(1)試行を4回く・・・

　私立 金沢工業大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)x=√7-√3，y=√7+√3のとき，1/x-1/y=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}であり，\frac{1}{x3}-\frac{1}{y3}=\frac{[ウ]\sqrt{[エ]}}{[オ]}である．
(2)(9x-5)(2x+3)+10x-41=([カ]x-[キ])([ク]x+[ケ])である．
(3)連立不等式\frac{5x-7}{3}-1≦x+2＜\frac{4x-3}{2}の解は\frac{[コ]}{[サ]}＜x≦[シ]で・・・

　私立 北海道医療大学 2012年 第3問

場合の数と確率に関して以下の問に答えよ．
(1)x,yは0または正の整数とする．
(i)方程式x+y=6を満たす(x,y)の組は何通りあるか．
(ii)方程式x+y=6と不等式x＜yを同時に満たす(x,y)の組は何通りあるか．
(2)さいころを3回振り，1回目に出た目をx，2回目に出た目をy，3回目に出た目をzとおく．ただし，x,y,zは1以上6以下の正の整数とする．
(i)x+y+z=8となる確率を求めよ・・・

　私立 広島工業大学 2012年 第3問

log_{10}2=0.3010，log_{10}3=0.4771を用いて，次の問いに答えよ．
(1)log_{10}9とlog_{10}12の値を求めよ．
(2)n≦10^{0.955}＜n+1を満たす整数nの値を求めよ．
(3)12^{50}の最高位の数字を求めよ．