「整数」について

　私立 産業医科大学 2012年 第3問

自然数nと0以上の整数mに対して，pn=\comb{2n}{n}{(1/2)}^{2n}，Im=∫0^{π/2}sinmxdxとおく．次の問いに答えなさい．
(1)すべての自然数nについて(n+1/2){pn}2=\frac{bI_{2n}}{I_{2n+1}}が成り立つように，定数bの値を求めなさい．
(2)0＜x＜π/2のとき，sinmx＞sin^{m+1}x＞0であることを用いて，極限\lim_{n→∞}√npn・・・

　私立 千葉工業大学 2012年 第3問

次の各問に答えよ．
(1)t=x-4/xとおくとt2=x2+\frac{[アイ]}{x2}-[ウ]である．4次方程式
x4-2x3-16x2+8x+16=0・・・・・・(*)
の両辺に\frac{1}{x2}をかけた方程式は，t=x-4/xを用いて，t2-[エ]t-[オ]=0と表される．4次方程式(*)の解はx=[カ]±[キ]\sqrt{[ク]}，[ケコ]±\sqrt{[サ]}である．
(2)5個の数字0,1,2,3,・・・

　私立 吉備国際大学 2012年 第1問

次の（）を埋めよ．
(1)大のサイコロの目を百の位の数に，中のサイコロの目を十の位の数に，小のサイコロの目を一の位の数とするとき，できた3桁の整数が4の倍数になる確率は(①)となる．
(2)(√3+√5+√7)(√3+√5-√7)を計算すると(②)である．
(3)△ABCにおいて3辺がそれぞれAB=9，BC=17，CA=10とするときこの三角形の面積は(③)である．
(4)(a+b)^{12}を展開し・・・

　私立 吉備国際大学 2012年 第2問

nは整数とする．
(1)nが5で割って4余るとき，n2は5で割るといくつ余るか．
(2)n2を5で割ったとき，余りは何になるか．可能性があるものをすべて書け．
(3)n2が5の倍数の時，nは5の倍数であることを証明せよ．

　私立 大阪歯科大学 2012年 第3問

xy平面において，不等式x2+y2≦1の表す領域をD1とし，整数kに対して連立不等式
{\begin{array}{l}
y≦2x+k+2\
y≧2x+k-5
\end{array}.
の表す領域をD2とする．
(1)円x2+y2=1の接線で，傾きが2のものをすべて求めよ．
(2)領域D1が領域D2に含まれるようなkをすべて求めよ．

　私立 杏林大学 2012年 第1問

[カ]，[キ]の解答はそれぞれの解答群の中から最も適当なものを1ずつ選べ．
袋の中に，1から13までの数字が書かれたカードが1枚ずつ入っている．この袋から3枚のカードを同時に取り出して，カードに書かれた数字を小さい方から順にx,y,zと定め，カードを袋に戻すという操作を行う．このような操作によって取りうるすべての整数の組(x,y,z)を，重複なく集めてできる集合
U={(x,y,z)\;|\;x,y,z　はカードを取り出して定められる数　}
を全体集合と定める・・・

　私立 大同大学 2012年 第1問

次の[]にあてはまる0から9までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．
(1)x=\sqrt{14}-√7+√2，y=\sqrt{14}+√7-√2のとき，
(x+y)3=[][][]\sqrt{14}，xy=[]+[]\sqrt{14}，x3+y3=[][]\sqrt{14}-[][][]である．
(2)aを実数とする．2次方程式x2+5ax+3a+4=0が正の解αと負の解βをもつとき，aの範囲はa＜-\frac{[]}{\k・・・

　私立 大同大学 2012年 第6問

次の[]にあてはまる0から9までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．
(1)6個の数字0,1,2,3,4,5から異なる4個を並べてできる4桁の整数は[][][]個ある．このうち2013より小さい整数は[][]個あり，2013より大きく4532より小さい整数は[][][]個ある．
(2)a,bは実数とする．
a=[]は，(a-1)2+(a-2)2(b-3)2=0であるための必要条件である．
a=[]かつb・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)a,b,cを整数とするとき，以下の問いに答えなさい．
(i)a+b+c=10,a≧1,b≧1,c≧1を満たす整数解a,b,cの組の総数は[ア][イ]である．
(ii)a+b+c≦10,a≧1,b≧1,c≧1を満たす整数解a,b,cの組の総数は[ウ][エ][オ]である．
(iii)a+b+c≦10,7≧a≧1,7≧b≧1,7≧c≧1を満たす整数解a,b,cの・・・

　私立 安田女子大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)√5の小数部分をaとするとき，a+1/aの値を求めよ．
(2)4＜\sqrt{2x2}＜7を満たす整数xをすべて求めよ．
(3)正三角形ABCにおいて∠ABC=θとするとき，sinθ+cosθ+tanθの値を求めよ．
(4)対角線の差が4cmで，面積が96cm2のひし形がある．このひし形の1辺の長さを求めよ．
(5)5^{4log52}の値を求めよ．