「整数」について

　私立 安田女子大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)√5の小数部分をaとするとき，a+1/aの値を求めよ．
(2)4＜\sqrt{2x2}＜7を満たす整数xをすべて求めよ．
(3)正三角形ABCにおいて∠ABC=θとするとき，sinθ+cosθ+tanθの値を求めよ．
(4)対角線の差が4cmで，面積が96cm2のひし形がある．このひし形の1辺の長さを求めよ．

　私立 安田女子大学 2012年 第2問

整数を要素とする次の3つの集合を考える．
\begin{array}{l}
A={1,3,4x4-5x2+3}\
B={2,x+2xy+y}\
C={1,y+3}
\end{array}
このとき，次の問いに答えよ．
(1)A={1,2,3}となるxの値をすべて求めよ．
(2)B\subsetAとなるx,yの値の組をすべて求めよ．
(3)B=Cかつ集合A∩B∩Cの要素の数がただ一つだけとなるx,yの値の組をすべて求めよ．

　私立 東京女子大学 2012年 第3問

初項a，公差dの等差数列{an}と，初項b，公比rの等比数列{bn}があり，数列{cn}はcn=an+bnにより定まる数列とする．a,b,d,rが全て正の整数で，c1=4，c2=9，c3=17のとき，以下の設問に答えよ．
(1)a,b,d,rの値を求めよ．
(2)数列{cn}の初項から第n項までの和を求めよ．

　公立 兵庫県立大学 2012年 第1問

次の問に答えなさい．
(1)実数x,yに関する以下の命題で正しいものは証明し，誤っているものは反例をあげなさい．
(i)xとyが共に無理数であることはx+yが無理数であることの十分条件である．
(ii)xとyのいずれかが無理数であることはx+yが無理数であることの必要条件である．
(iii)xが有理数でyが無理数であることはx+yが無理数であることの十分条件である．
(2)数列{an}をa1=1,a2=1,an=a_{n-2}+a_{n-1}・・・

　公立 大阪市立大学 2012年 第4問

|a2-2b2|=1をみたす整数a,bによって，(\begin{array}{cc}
a&2b\\
b&a
\end{array})と表される2次の正方行列全体の集合をUとする．このとき，Uに属する行列A=(\begin{array}{cc}
a&2b\\
b&a
\end{array})に対して，f(A)=a+√2bとおく．次の問いに答えよ．
(1)二つの行列AとBがUに属するならば，積ABもUに属することを示し，さらにf(AB)=f(A)f(B)が成り立つことを示せ．
(2)Uに属する行列A=(\begin{array}{cc}
a&2b\\
b&a
・・・

　公立 青森公立大学 2012年 第1問

次の[\phantom{ア]}に適する数または式を記入せよ．



(1)点Oを原点とする座標平面内に，2点A(5,10)，B(-2,4)がある．∠　AOB　=θとするとき，cosθ=[ア]であり，sinθ=[イ]である．また，△　AOB　の面積は[ウ]であり，内接円の半径rは[エ]である．また，外接円の半径Rは[オ]であり，外心の座標は[カ]である．さらに，重心の座標は[キ]である．

(2)サイコロを3回投げ，出た目の数字を順にa,b,c・・・

　公立 首都大学東京 2012年 第3問

座標平面上で，x座標．y座標がともに整数である点を格子点という．nを正の整数として，変数x,yについての不等式
|x|+|y|＜n
の表す領域内にある格子点(x,y)の個数をanとする．以下の問いに答えなさい．
(1)a1,a2,a3を求めなさい．
(2)a_{n+1}-anをnで表しなさい．
(3)anを求めなさい．

　公立 首都大学東京 2012年 第2問

nを正の整数とし，n2+3とn+1の最大公約数をdnとおく．以下の問いに答えなさい．
(1)d1,d2,d3,d4,d5を求めなさい．
(2)(n2+3)-(n-1)(n+1)=4を用いて，dnは1,2,4のいずれかであることを示しなさい．
(3)Σ_{n=1}^{610}dnを求めなさい．
(4)次の極限値を求めなさい．
\lim_{k→∞}1/kΣ_{n=1}kdn

　公立 高知工科大学 2012年 第2問

xの2次方程式x2-2x-1=0の解をα,β(α＜β)とし，正の整数nに対して
xn=\frac{βn-αn}{2√2}
とおく．次の各問に答えよ．
(1)x1,x2を求めよ．
(2)x_{n+2}=2x_{n+1}+xnが成り立つことを証明せよ．
(3)x_{3n}は5の倍数であることを証明せよ．

　公立 高崎経済大学 2012年 第1問

以下の各問に答えよ．
(1)3次関数f(x)=ax3+bx2-6がある．f^{\prime}(1)=7,f^{\prime}(-2)=4となるように定数a,bの値を定めよ．
(2)次の計算をせよ．ただし，i2=-1である．\frac{2-i}{1+2i}
(3)(2x2-1)6を展開したとき，x4の項の係数を求めよ．
(4)20本のくじがあり，当たりくじの賞金と本数は1等1000円が1本，2等500円が2本，3等300円が3本である．ただし，はずれくじの賞金は0円である．いま，この中から1本のくじを引くときの賞金の期待値を求め・・・