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nを2以上の整数とする．曲線y=sinx(0≦x≦π/2)，直線x=π/2およびx軸で囲まれる部分の面積をn-1本の曲線y=akcosx(k=1,2,・・・,n-1)によってn等分するとき，下の問いに答えよ．ただし，0＜a1＜a2＜・・・＜a_{n-1}とする．
(1)n=2のとき，a1の値を求めよ．
(2)akをnとkで表せ．
国立 鳴門教育大学 2015年 第4問方程式29x+33y=1について，次の問いに答えなさい．
(1)整数解をすべて求めなさい．
(2)整数解x,yのうち，|x/y|が最大となるx,yを求めなさい．
国立 滋賀医科大学 2015年 第3問aを0＜a＜π/2をみたす定数とし，方程式
x(1-cosx)=sin(x+a)
を考える．
(1)nを正の整数とするとき，上の方程式は2nπ＜x＜2nπ+π/2の範囲でただ1つの解をもつことを示せ．
(2)(1)の解をxnとおく．極限\lim_{n→∞}(xn-2nπ)を求めよ．
(3)極限\lim_{n→∞}√n(xn-2nπ)を求めよ．ただし，\lim_{x→0}\frac{sinx}{x}=1を用いてよい．
国立 千葉大学 2015年 第4問0以上の整数nに対して，整式Tn(x)を
T0(x)=1,T1(x)=x,Tn(x)=2xT_{n-1}(x)-T_{n-2}(x)(n=2,3,4,・・・)
で定める．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)0以上の任意の整数nに対して
cos(nθ)=Tn(cosθ)
となることを示せ．
(2)定積分
∫_{-1}1Tn(x)dx
の値を求めよ．
国立 和歌山大学 2015年 第1問nを1以上の整数とする．袋の中に，1の数字を書いたカードが1枚，2の数字を書いたカードが2枚，3の数字を書いたカードが3枚入っている．この袋の中から，無作為にカードを1枚取り出して数字を記録し，もとに戻すという試行を繰り返す．次の問いに答えよ．
(1)この試行をn回繰り返したとき，記録されたn個の数字すべての積をRnとする．Rnが3で割り切れない確率と，Rnが6で割り切れる確率をnを用いて表せ．
(2)この試行をn回繰り返したとき，記録されたn個の数字の合計をSnとし・・・
国立 和歌山大学 2015年 第2問整数a,bは0≦a≦3，0≦b≦3を満たし，
2asin(bx+aπ)sinbx-cos2bx+1=0
がすべての実数xについて成り立っている．このようなa,bの組(a,b)をすべて求めよ．
国立 和歌山大学 2015年 第1問nを1以上の整数とする．袋の中に，1の数字を書いたカードが1枚，2の数字を書いたカードが2枚，3の数字を書いたカードが3枚入っている．この袋の中から，無作為にカードを1枚取り出して数字を記録し，もとに戻すという試行を繰り返す．次の問いに答えよ．
(1)この試行をn回繰り返したとき，記録されたn個の数字すべての積をRnとする．Rnが3で割り切れない確率と，Rnが6で割り切れる確率をnを用いて表せ．
(2)この試行をn回繰り返したとき，記録されたn個の数字の合計をSnとし・・・
国立 和歌山大学 2015年 第2問整数a,bは0≦a≦3，0≦b≦3を満たし，
2asin(bx+aπ)sinbx-cos2bx+1=0
がすべての実数xについて成り立っている．このようなa,bの組(a,b)をすべて求めよ．
国立 岐阜大学 2015年 第5問pを2以上の整数とし，a=p+\sqrt{p2-1}，b=p-\sqrt{p2-1}とする．以下の問に答えよ．
(1)a2+b2とa3+b3がともに偶数であることを示せ．
(2)nを2以上の整数とする．an+bnが偶数であることを示せ．
(3)正の整数nについて，[an]が奇数であることを示せ．ただし，実数xに対して，[x]はm≦x＜m+1を満たす整数mを表す．
国立 岐阜大学 2015年 第5問次の問に答えよ．
(1)α,βをα,β≠nπ+π/2（nは整数）とする．α,βがtanαtanβ=1を満たすとき，ある整数kがあって，α+β=kπ+π/2となることを示せ．
(2)-π/6＜x＜π/6とし，t=tanxとおく．tan3xをtの式で表せ．
(3)cを実数とする．-π/6＜x＜π/6のとき，2曲線y=ctanxとy=tan3xの共有点の個数を求・・・
