「整数」について

　公立 京都府立大学 2012年 第3問

n,an,bnを自然数とし，(2+√3)n=an+√3bnとする．以下の問いに答えよ．
(1)a_{n+1},b_{n+1}をan,bnを用いて表せ．
(2)(2-√3)n=an-√3bnとなることを数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)(2+√3)n以下の整数のうち最大のものをpan+qとする．pとqの値を求めよ．

　公立 広島市立大学 2012年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)A=(\begin{array}{cc}
2&-1\\
1&0
\end{array})について，以下の問いに答えよ．
(i)Aは逆行列をもつことを示し，A^{-1}を求めよ．
(ii)A2,A3,A4を求めよ．
(iii)正の整数nに対してAnを推測し，その推測が正しいことを証明せよ．
(2)a,b,cを定数とし，a＞0であるとする．2次関数f(x)=ax2+bx+c(-1≦x≦1)の最小値を求めよ．

　公立 富山県立大学 2012年 第5問

数列{an}の各項an(n=1,2,3,・・・)を
a1=2,{\begin{array}{ll}
an　が偶数のとき，　&a_{n+1}=an+1\
an　が奇数のとき，　&a_{n+1}=2an
\end{array}.
により定める．次の問いに答えよ．ただし，kは正の整数とする．
(1)a2,a3,a4,a5,a6を求めよ．
(2)a_{2k}を用いて，a_{2k+2}を表せ．また，a_{2k-1}を用いて，a_{2k+1}を表せ．
(3)a_{2k},a_{2k-1}を求めよ．

　公立 岐阜薬科大学 2012年 第4問

行列A=(\begin{array}{cc}
3a-1&9a\
-a&-3a-1
\end{array})について，次の問いに答えよ．ただし，aは実数とする．
(1)A2,A3を求めよ．
(2)正の整数nについてAnを推定し，それを数学的帰納法で証明せよ．

　公立 岐阜薬科大学 2012年 第5問

x+y+z=n（nは正の整数）をみたす正の整数の組(x,y,z)について，次の問いに答えよ．
(1)n=19のとき，(x,y,z)の組は何通りあるか．そのうち，x,y,zのいずれか2つが等しい組，x≦y≦zをみたす組はそれぞれ何通りあるか．
(2)nが6の倍数であるとき，x≦y≦zをみたす(x,y,z)の組は何通りあるか．

　公立 奈良県立医科大学 2012年 第2問

nを3以上の整数とし，n個の整数a1,a2,・・・,anは以下の3条件を満たすとする．
条件(i)：a1≧2
条件(ii)：a1≧a2≧・・・≧an
条件(iii)：1≦i＜j≦nを満たす任意の整数i,jに対して，不等式
ai+aj＞0
が成り立つ．
このとき，不等式
Σ_{i=1}nai≧n
が成り立つことを証明せよ．また，この不等式において等号が成り立つ場合のnの値，およびn個の整数の組(a1,a2,・・・

　公立 奈良県立医科大学 2012年 第3問

各成分が0以下の整数からなる2行2列の行列
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})
で，A2+A=Eを満たすものをすべて求めよ．（ただし，Eは単位行列を表す．）

　公立 奈良県立医科大学 2012年 第4問

整数mが与えられたとき，xに関する整数係数の2つの整式f(x)，g(x)が関係式
f(x)\equivg(x)±odm
を満たすとは，等式f(x)-g(x)=mh(x)を満たすような整数係数の整式h(x)が存在することである．
(1)f(x),g(x),F(x),G(x)を整数係数の整式とする．もし，ある整数mについて関係式f(x)\equivg(x)±odm，かつF(x)\equivG(x)±odmが満たされるならば，関係式f(x)+F(x)\equivg(x)+G(x)±odm，かつf(x)F(x)\equivg(x)G(x)±odmが満たされることを証明せよ．
(2)正整・・・

　公立 京都府立大学 2012年 第4問

nを自然数とする．整数を成分にもつ行列
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
3&x\
y&z
\end{array}),E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})
はAB=BA，B2-3B+2E=Oを満たすとする．ただしx≠yとする．以下の問いに答えよ．
(1)a＞b＞c＞d，bc＞0かつA2=18Eのとき，a,b,c,dの値をすべて求めよ．
(2)Bn=pnB+qnEで定まる数列{pn}，{qn}の一般項をそれぞれ・・・

　国立 豊橋技術科学大学 2011年 第3問

関数f(x)=mxcos(mx)-sin(mx)について，以下の問いに答えよ．ただし，mは正の整数とする．
(1)f(x)が極値をとる最も小さい正の実数xを，mを用いて表せ．
(2)m=2のとき，区間0≦x≦2πにおけるf(x)の最大値を求めよ．
(3)m=3のとき，曲線y=f(x)上の点(π/2,f(π/2))における曲線の接線がy軸と交わる点の座標(x0,y0)を求めよ．
(4)∫0^πf(x)dx=0が成り立つためにmが満たすべ・・・