「整数」について

　国立 京都大学 2011年 第4問

nは2以上の整数であり，1/2＜aj＜1(j=1,2,・・・,n)であるとき，不等式
(1-a1)(1-a2)・・・(1-an)＞1-(a1+\frac{a2}{2}+・・・+\frac{an}{2^{n-1}})
が成立することを示せ．

　国立 東京大学 2011年 第2問

実数xの小数部分を，0≦y＜1かつx-yが整数となる実数yのこととし，これを記号\langlex\rangleで表す．実数aに対して，無限数列{an}の各項an(n=1,2,3,・・・)を次のように順次定める．
 a1=\langlea\rangle
{
\begin{array}{l}
an≠0　のとき，　a_{n+1}=\langle1/a\rangle\\
an=0　のとき，　a_{n+1}=0
\end{array}
.

(1)a=√2のとき，数列{an}を求めよ．
(2)任意の自然数・・・

　国立 東京大学 2011年 第2問

実数xの小数部分を，0≦y＜1かつx-yが整数となる実数yのこととし，これを記号\langlex\rangleで表す．実数aに対して，無限数列{an}の各項an(n=1,2,3,・・・)を次のように順次定める．
 (i)a1=\langlea\rangle
(ii){
\begin{array}{l}
an≠0　のとき，　a_{n+1}=\langle\frac{1}{an}\rangle\phantom{\frac{1}{[]}}\\
an=0　のとき，　a_{n+1}=0\phantom{\frac{1}{[]}}
\end{array}
\r・・・

　国立 京都大学 2011年 第5問

0以上の整数を10進法で表すとき，次の問いに答えよ．ただし，0は0桁の数と考えることにする．またnは正の整数とする．
(1)各桁の数が1または2であるn桁の整数を考える．それらすべての整数の総和をTnとする．Tnをnを用いて表せ．
(2)各桁の数が0,1,2のいずれかであるn桁以下の整数を考える．それらすべての総和Snをとする．SnがTnの15倍以上になるのは，nがいくつ以上のときか．必要があれは，0.301＜log_{10}2＜0.302および0.477＜log_{10}3＜0.478を用いてもよい．
・・・

　国立 大阪大学 2011年 第1問

実数の組(x,y,z)で，どのような整数l,m,nに対しても，等式
l・10^{x-y}-nx+l・10^{y-z}+m・10^{x-z}=13l+36m+ny
が成り立つようなものをすべて求めよ．

　国立 千葉大学 2011年 第1問

1個のさいころを3回投げる．1回目に出る目をa1，2回目に出る目をa2，3回目に出る目をa3とし，整数nを
n=(a1-a2)(a2-a3)(a3-a1)
と定める．
(1)n=0である確率を求めよ．
(2)|n|=30である確率を求めよ．

　国立 横浜国立大学 2011年 第1問

3次関数f(x)=x3-3x2-4x+kについて，次の問いに答えよ．ただし，kは定数とする．
(1)f(x)が極値をとるときのxを求めよ．
(2)方程式f(x)=0が異なる3つの整数解をもつとき，kの値およびその整数解を求めよ．

　国立 横浜国立大学 2011年 第1問

3次関数f(x)=x3-3x2-4x+kについて，次の問いに答えよ．ただし，kは定数とする．
(1)f(x)が極値をとるときのxを求めよ．
(2)方程式f(x)=0が異なる3つの整数解をもつとき，kの値およびその整数解を求めよ．

　国立 秋田大学 2011年 第1問

大小2個のさいころを投げて，出る目をそれぞれa,bとする．このa,bに対し，f(x)=x2-ax+b,g(x)=x3-(a+b)x2+(a+1)bx-b2とおく．次の問いに答えよ．
(1)方程式f(x)=0が，実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式f(x)=0が，整数の解を少なくとも1つもつ確率を求めよ．
(3)方程式g(x)=0が，異なる整数の解をちょうど2個もつ確率を求めよ．

　国立 北海道大学 2011年 第1問

実数xに対してk≦x＜k+1を満たす整数kを[x]で表す．たとえば，
[2]=2,[5/2]=2,[-2.1]=-3
である．
(1)n2-5n+5＜0を満たす整数nをすべて求めよ．
(2)[x]2-5[x]+5＜0を満たす実数xの範囲を求めよ．
(3)xは(2)で求めた範囲にあるものとする．x2-5[x]+5=0を満たすxをすべて求めよ．