「整数」について

　国立 秋田大学 2011年 第2問

大小2個のさいころを投げて，出る目をそれぞれa,bとする．このa,bに対し，f(x)=x2-ax+bとおく．次の問いに答えよ．
(1)方程式f(x)=0が，実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式f(x)=0が，整数の解を少なくとも1つもつ確率を求めよ．

　国立 北海道大学 2011年 第1問

実数xに対してk≦x＜k+1を満たす整数kを[x]で表す．たとえば，
[2]=2,[5/2]=2,[-2.1]=-3
である．
(1)n2-n-5/4＜0を満たす整数nをすべて求めよ．
(2)[x]2-[x]-5/4＜0を満たす実数xの範囲を求めよ．
(3)xは(2)で求めた範囲にあるものとする．x2-[x]-5/4=0を満たすxをすべて求めよ．

　国立 東北大学 2011年 第6問

行列
A=(\begin{array}{cc}
3&-1\\
4&-1
\end{array})
の表す1次変換をfとする．fによる点P(1,1)の像をP1とする．正の整数nに対し，Pnのfによる像をP_{n+1}とする．Pnが点Q(10,10)に最も近くなるときのnの値を求めよ．

　国立 東京大学 2011年 第5問

p,qを2つの正の整数とする．整数a,b,cで条件
-q≦b≦0≦a≦p,b≦c≦a
を満たすものを考え，このようなa,b,cを[a,b;c]の形に並べたものを(p,q)パターンと呼ぶ．各(p,q)パターン[a,b;c]に対して
w([a,b;c])=p-q-(a+b)
とおく．
(1)(p,q)パターンのうち，w([a,b;c])=-qとなるものの個数を求めよ．また，w([a,b;c])=pとなる(p,q)パターンの個数を求めよ．\\
以下p=qの場合を考える．
(2)sを整・・・

　国立 名古屋大学 2011年 第2問

A0=\biggl(\begin{array}{cc}
0&0\\
0&0
\end{array}\biggr)とする．整数n≧1に対して，次の試行により行列A_{n-1}から行列Anを定める．
「数字の組(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)を1つずつ書いた4枚の札が入っている袋から1枚を取り出し，その札に書かれている数字の組が(i,i)のとき，A_{n-1}の(i,j)成分に1を加えた行列をAnとする．」
この試行をn回(n=2,3,4,・・・)くり返した後に，A0,A1,・・・,A_{n-1}が逆行列をもたず・・・

　国立 岡山大学 2011年 第2問

nを3以上の整数とする．3n枚のカードに1から3nまでの数字が1つずつ書かれている．この中から3枚のカードを取りだす．ひとたび取りだしたカードは戻さないものとする．
(1)3枚のカードの数字がすべて3の倍数である確率を求めよ．
(2)3枚のカードの数字の和が3の倍数である確率を求めよ．
(3)3枚のカードの数字の積が3の倍数である確率と3枚のカードの数字の和が3の倍数でない確率とはどちらが大きいかを調べよ．

　国立 静岡大学 2011年 第2問

自然数a,bに対して，a=bq+r,0≦r≦b-1を満たす整数q,rがただ1組存在する．このときqはaをbで割った商，rはaをbで割った余りという．自然数a0,a1が与えられたとき，数列{an},{qn}は次の性質を満たすものとする．
\mon[(i)]qnはa_{n-1}をanで割った商
\mon[(ii)]\biggl(\begin{array}{c}
an\\
a_{n+1}
\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{cc}
0&1\\
1&-qn
\end{array}\biggr)\biggl(\begin{array}{c}
a_{n-1}\\
a_{n}
\end{array}\bi・・・

　国立 金沢大学 2011年 第2問

行列A=(\begin{array}{cc}
2&3\\
1&2
\end{array}),P=(\begin{array}{cc}
√3&-√3\\
1&1
\end{array})に対して，B=P^{-1}APとおく．また，n=1,2,3,・・・に対して，an,bnを
(\begin{array}{c}
an\\
bn 
\end{array})=An(\begin{array}{c}
2\\
0
\end{array})
で定める．次の問いに答えよ．
(1)P^{-1}およびBを求めよ．
(2)an,bnを求めよ．
(3)実数xを超えない最大の整数を[\;x\;]で・・・

　国立 東京大学 2011年 第3問

p，qを2つの正の整数とする．整数a，b，cで条件
-q≦b≦0≦a≦p,b≦c≦a
を満たすものを考え，このようなa，b，cを[a,b;c]の形に並べたものを(p,q)パターンと呼ぶ．各(p,q)パターン[a,b;c]に対して
w([a,b;c])=p-q-(a+b)
とおく．
(1)(p,q)パターンのうち，w([a,b;c])=-qとなるものの個数を求めよ．また，w([a,b;c])=pとなる(p,q)パターンの個数を求めよ．\\
以下p=qの場合を考える．
(2)sをp・・・

　国立 滋賀大学 2011年 第1問

nを3以上の整数とする．2n個の整数1,2,3,・・・,2nから無作為に異なる3個の数を選ぶとき，次の問いに答えよ．
(1)3個の数を小さい順に並べた数列が，公差2の等差数列である選び方は何通りあるか．
(2)3個の数を小さい順に並べた数列が，等差数列である確率を求めよ．