「整数」について

　国立 名古屋大学 2011年 第4問

a,bはa≧b＞0を満たす整数とし，xとyの2次方程式
x2+ax+b=0,y2+by+a=0
がそれぞれ整数解をもつとする．
(1)a=bとするとき，条件を満たす整数aをすべて求めよ．
(2)a＞bとするとき，条件を満たす整数の組(a,b)をすべて求めよ．

　国立 島根大学 2011年 第3問

U={k\;|\;k　は自然数，　1≦k≦25}を全体集合とし，Uの部分集合A,Bを次のように定める．
A={k\;|\;k\inU　かつ　k　は3の倍数　},B={k\;|\;k\inU　かつ　k　は4の倍数　}
このとき，次の問いに答えよ．
(1)2つの集合A∩B,A∪Bを，要素を書き並べる方法で表せ．
(2)mとnを自然数とし，2次方程式
(*)x2-mx+n=0
が整数解をもつとする．このとき，nが素数ならば，2次方程式(*)は1を解としてもつこ・・・

　国立 徳島大学 2011年 第2問

数字1,2,3を使ってできる次のような整数の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．
(1)5桁の整数
(2)5桁の整数で2の倍数
(3)5桁の整数で3の倍数
(4)5桁の整数で4の倍数
(5)5桁の整数で6の倍数

　国立 徳島大学 2011年 第1問

数字1,2,3を使ってできる次のような整数の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．
(1)5桁の整数
(2)5桁の整数で2の倍数
(3)5桁の整数で3の倍数
(4)5桁の整数で4の倍数
(5)5桁の整数で6の倍数

　国立 山口大学 2011年 第3問

p,qを整数とする．2次方程式x2+px+q=0が異なる2つの実数解α,β(α＜β)を持ち，区間[α,β]には，ちょうど2つの整数が含まれているとする．αが整数でないとき，β-αの値を求めなさい．

　国立 山口大学 2011年 第1問

不等式log3(x+1)+log3(x-1)≦log3y-1≦log3(11-x)を満たす整数の組(x,y)の個数を求めなさい．

　国立 熊本大学 2011年 第1問

x,yを整数とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)x5-xは30の倍数であることを示せ．
(2)x5y-xy5は30の倍数であることを示せ．

　国立 熊本大学 2011年 第2問

2つの整数の平方の和で表される整数の集合をAとする．以下の問いに答えよ．
(1)集合Aのある要素a2+b2（a,bは整数）が3で割り切れるとき，a,bはともに3で割り切れることを示せ．
(2)xを整数とする．9xが集合Aの要素であるとき，xは集合Aの要素であることを示せ．

　国立 佐賀大学 2011年 第4問

整数a,b,cに対して，行列A=\biggl(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&a+c-b
\end{array}\biggr)をとる．次の問いに答えよ．
(1)行列Q=\biggl(\begin{array}{cc}
s&t\\
0&u
\end{array}\biggr)に対して，
Q3-Q=\biggl(\begin{array}{cc}
s(s2-1)&t(s2+u2+su-1)\\
0&u(u2-1)
\end{array}\biggr)
となることを示せ．
(2)整数x,y,zに対して，行列R=\biggl(\begin{array}{cc}
6x&y\\
0&6z
\end{array}\biggr)をとる．このとき，行列1/6R2の各・・・

　国立 防衛医科大学校 2011年 第1問

以下の問に答えよ．
(1)a,b,cは正の整数で，a＜b＜c,a+b＜cを満たすものとする．このとき整式ax2-(a2+ab)x+a2b-174がx-cで割り切れるような(a,b,c)の組があればすべて求めよ．
(2)α=1+√3i,β=1-√3iのとき
(\frac{β2-4β+8}{α^{n+2}-α^{n+1}+2αn+4α^{n-1}+α3-2α2+5α-2})3
はいくらか．ただし，nは2以上の自然数，iは虚数単位とする．
(3)y=cosx(0≦x≦π)の逆関数をy=f(x)とお・・・