「整数」について

　国立 防衛医科大学校 2011年 第2問

0，1，2，3，4，5の6つの数字を重複せずに用いて，n桁の整数を作る（n≦6）．このとき，以下の問に答えよ．
(1)n=3，すなわち3桁の整数で，隣り合う数字の和がどれも5にならないような整数はいくつできるか．
(2)n=4，すなわち4桁の整数で，隣り合う数字の和がどれも3にならないような整数はいくつできるか．
(3)n=4，すなわち4桁の整数で，隣り合う数字の和が5になる箇所が2つあるような整数をすべて加えるといくらになるか．

　国立 宇都宮大学 2011年 第1問

座標平面のx軸上を動く点Pとy軸上を動く点Qに対して次の操作を行う．\\
「大小2つのさいころを同時に投げて，
\begin{itemize}
点Pを大きいさいころの目が奇数ならば+1，偶数ならば+2動かす
点Qを小さいさいころの目が奇数ならば+1，偶数ならば+2動かす」
\end{itemize}
点Pと点Qは原点を出発点とするとき，座標平面上にできる三角形OPQについて，次の問いに答えよ．
(1)この操作を2回続けたとき，△OPQが二等辺三・・・

　国立 群馬大学 2011年 第1問

log_{10}2=0.3010,log_{10}3=0.4771とする．
(1)2^{2011}は何桁の整数か．
(2)2^{2011}の最高位の数を求めよ．ただし，最高位の数とは，たとえば729の場合は7を指す．

　国立 群馬大学 2011年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)1365と1560の最大公約数を求めよ．
(2)2以上の整数x,y,zの組でxyz=1365,3x≦2y≦zを満たすものをすべて求めよ．

　国立 群馬大学 2011年 第1問

log_{10}2=0.3010,log_{10}3=0.4771とする．
(1)2^{2011}は何桁の整数か．
(2)2^{2011}の最高位の数を求めよ．ただし，最高位の数とは，たとえば729の場合は7を指す．

　国立 群馬大学 2011年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)1365と1560の最大公約数を求めよ．
(2)2以上の整数x,y,zの組でxyz=1365,3x≦2y≦zを満たすものをすべて求めよ．

　国立 新潟大学 2011年 第5問

実数a,b,cに対して，3次関数f(x)=x3+ax2+bx+cを考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)f(-1),f(0),f(1)が整数であるならば，すべての整数nに対して，f(n)は整数であることを示せ．
(2)f(2010),f(2011),f(2012)が整数であるならば，すべての整数nに対して，f(n)は整数であることを示せ．

　国立 宮崎大学 2011年 第3問

自然数nについて，anを√n以下の整数のうち最大のものとするとき，次の各問に答えよ．
(1)a1,a2,a3,a4の値を求めよ．
(2)自然数mについて，S=a1+a2+・・・+a_{m2}を，mを用いて表せ．

　国立 宮崎大学 2011年 第1問

自然数nについて，anを√n以下の整数のうち最大のものとするとき，次の各問に答えよ．
(1)a1,a2,a3,a4の値を求めよ．
(2)自然数mについて，S=a1+a2+・・・+a_{m2}を，mを用いて表せ．

　国立 山口大学 2011年 第3問

1から6までの数字が1つずつ書かれた6枚のカードがある．6枚のカードの中から3枚を取り出し，左から一列に並べる．並べたカードの数字を左から順に百の位，十の位，一の位とする3桁の整数をMとし，また右から順に百の位，十の位，一の位とする3桁の整数をNとする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)M+Nが3の倍数となるカードの並べ方の総数を求めなさい．
(2)|M-N|＜200を満たすカードの並べ方の総数を求めなさい．