「整数」について

　国立 鹿児島大学 2011年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)0＜a＜1とする．次の不等式を解け．
loga(2x-1)+loga(x-1)≦0
(2)(2x-y+z)8の展開式におけるx2y3z3の係数を求めよ．
(3)三角形の3辺の長さa,b,cの比がa:b:c=7:6:5であり，面積が12√6のとき，aの値を求めよ．
(4)mとnを正の整数とする．nをmで割ると7余り，n+13はmで割り切れるとき，mの値をすべて求めよ．

　国立 鹿児島大学 2011年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)0＜a＜1とする．次の不等式を解け．
loga(2x-1)+loga(x-1)≦0
(2)(2x-y+z)8の展開式におけるx2y3z3の係数を求めよ．
(3)三角形の3辺の長さa,b,cの比がa:b:c=7:6:5であり，面積が12√6のとき，aの値を求めよ．
(4)mとnを正の整数とする．nをmで割ると7余り，n+13はmで割り切れるとき，mの値をすべて求めよ．

　国立 鹿児島大学 2011年 第1問

次の各問いに答えよ．
(1)0＜a＜1とする．次の不等式を解け．
loga(2x-1)+loga(x-1)≦0
(2)(2x-y+z)8の展開式におけるx2y3z3の係数を求めよ．
(3)三角形の3辺の長さa,b,cの比がa:b:c=7:6:5であり，面積が12√6のとき，aの値を求めよ．
(4)mとnを正の整数とする．nをmで割ると7余り，n+13はmで割り切れるとき，mの値をすべて求めよ．

　国立 東京農工大学 2011年 第3問

2つの関数
f(x)=sin3x+sinx+cosx,g(x)=cos3x
について，次の問いに答えよ．
(1)区間0≦x≦nπにおける2つの曲線y=f(x),y=g(x)の交点の個数をrとする．rをnの式で表せ．ただし，nは正の整数とする．
(2)区間0≦x≦πにおいてf(x)＜g(x)をみたすxの範囲を求めよ．
(3)定積分
I=∫0^π|f(x)-g(x)|dx
の値を求めよ．

　国立 室蘭工業大学 2011年 第2問

正の整数nに対して，Sn(x)=∫0xtne^{-t}dtとおく．ただし，eは自然対数の底とする．
(1)S_{n+1}(x)をn,xおよびSn(x)を用いて表せ．
(2)mを正の整数とする．x＞0のとき，不等式e^{\frac{x}{m+1}}＞\frac{x}{m+1}が成り立つことを示せ．また，\lim_{x→∞}\frac{xm}{ex}=0となることを示せ．
(3)数学的帰納法を用いて，すべての正の整数nに対して，\lim_{x→∞}Sn(x)=n!となることを示せ．

　国立 室蘭工業大学 2011年 第5問

x,yは実数で，x+2y=3を満たすとする．さらに，行列A=(\begin{array}{cc}
2&2\
2&-1
\end{array})に対して等式A(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})=-2(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})が成り立つとする．
(1)x,yの値を求めよ．
(2)行列P=(\begin{array}{cc}
2&x\
1&y
\end{array})は逆行列をもつことを示し，P^{-1}APを求めよ．
(3)正の整数nに対して，Anを求めよ．

　国立 長岡技術科学大学 2011年 第1問

実数aに対して2次方程式
x2-5x+6-a=0
を考える．また，この2次方程式が整数解を持つようなaを小さい順に並べたものをa1,a2,a3,・・・とする．以下の問いに答えなさい．
(1)この2次方程式が実数解を持つようなaの範囲を求めなさい．
(2)a1とa2を求めなさい．
(3)anをnの式で表しなさい．
(4)Sn=a1+a2+・・・+anとおく．Snをnの式で表しなさい．

　国立 高知大学 2011年 第4問

nを自然数とし，θをcosθ=-1/3であるような実数とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)cos(n+1)x=2cosnxcosx-cos(n-1)xが成り立つことを示せ．
(2)cosnθは\frac{m}{3n}という形の分数で表されることを示せ．ただし，mは整数で|m|は3を約数にもたない．
(3)(2)を用いてθ/πは無理数であることを示せ．

　国立 宮城教育大学 2011年 第3問

nを1以上の整数とする．k=1,2,・・・,n,n+1に対して，xy平面上で，点(0,k)を通りx軸に平行な直線をℓkとし，点(k,0)を通りy軸に平行な直線をmkとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線
ℓ1,ℓ2,・・・,ℓn,ℓ_{n+1}
から相異なる2本を選び，直線
m1,m2,・・・,mn,m_{n+1}
から相異なる2本を選ぶと長方形が1つできる．こうしてできる長方形の総数を求めよ．ただし，合同であっても位置が違う長方形は異なるものとする．
(2)(1)で考え・・・

　国立 宮城教育大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)tanα=a,tanβ=b(0＜α＜π/2,0＜β＜π/2)のとき，cos(2α+β)をa,bを用いて表せ．
(2)1から9までの異なる整数が1つずつ書かれている9枚のカードがある．この中から4枚のカードを同時に取り出すとき，その4つの整数の和が奇数になる確率を求めよ．