「整数」について

　国立 山梨大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)実数xに対して[x]をm≦x＜m+1を満たす整数mとする．このとき
\lim_{n→∞}\frac{[10^{2n}π]}{10^{2n}}
を求めよ．
(2)y=log\frac{\sqrt{1+ex}-1}{\sqrt{1+ex}+1}を微分せよ．
(3)0＜x＜πにおいてsinx+sin2x=0を満たすxを求めよ．また，定積分∫0^π|sinx+sin2x|dxを求めよ．
(4)Aを2次正方行列とする．A2-2011A+E=OならばAは逆行列を持つことを示せ．ただし，Eは単位行列，Oは零行・・・

　国立 防衛大学校 2011年 第4問

△ABC内に
6ベクトルPA+3ベクトルPB+2ベクトルPC=ベクトル0
をみたす点Pがあるとき，次の問に答えよ．ただし，比は最も簡単な整数の比で表せ．
(1)ベクトルAP=mベクトルAB+nベクトルACとするとき，m,nの値を求めよ．
(2)直線APと辺BCの交点をDとするとき，比BD:DCおよびAP:PDを求めよ．
(3)直線BPと辺ACの交点をEとするとき，比AE:ECを求めよ．
(4)面積の比△PDC:\tr・・・

　国立 鳴門教育大学 2011年 第2問

三角形ABCにおいて，3辺AB，BC，CAの長さが，それぞれn-1，n，n+1であるとする．ただし，nは4以上の整数である．頂点Aから辺BCに下ろした垂線の長さをdとする．
(1)dをnを用いて表せ．
(2)nが偶数であることは，dの2乗が整数であるための必要十分条件であることを証明せよ．

　私立 早稲田大学 2011年 第3問

初項1，公差2の等差数列{an}に対して，数列{bn},{cn},{dn}をそれぞれ
bn=\frac{2n+1}{an},cn=log3bn,dn=Σ_{k=1}^{n}ck
で定める．このとき，
dn=log3([カ]n+[キ])
となる．さらに，dnが整数となるようなnを小さい順にm個並べて，その和を求めると，
\frac{[ク]^{m+1}+[ケ]m+[コ]}{4}
となる．

　私立 早稲田大学 2011年 第4問

p,qを実数の定数とする．2次方程式x2+px+q=0は連続した2個の整数を解にもち，2次方程式x2+qx+p=0は少なくとも1つの正の整数を解にもつ．このような定数p,qの組は2組あり，
(p,q)=([サ],[シ]),([ス],[セ])
である．ただし，[サ]＜[ス]を満たすものとする．

　私立 早稲田大学 2011年 第7問

座標平面上の点(x,y)の両座標とも整数のとき，その点を格子点という．本問では，「領域内」とはその領域の内部および境界線を含むものとする．
(1)不等式|x|+2|y|≦4の表す領域をDとする．領域D内に格子点は[ノ]個ある．
(2)nを自然数として，不等式|x|+2|y|≦2nの表す領域をFとする．領域F内の格子点の総数は
([ハ]n2+[ヒ]n+[フ])個である．

　私立 早稲田大学 2011年 第2問

次の問に答えよ．
(1)a,bは整数で，2次方程式
x2+ax+b=0\dotnum{A}
が異なる2つの実数解α,βをもつとする．このとき，α,βはともに整数であるか，ともに無理数であるかのいずれかであることを証明する．以下の問に答え，証明を完成させよ．\\
まず，b=0のときは，x2+ax=0であるから\maru{A}は整数解0,-aをもつ．以下ではb≠0とする．\\
解と係数の関係より，α+β=-a,αβ=bであり，これらは整数である．有理数と無理数・・・

　私立 早稲田大学 2011年 第1問

[ア]～[エ]にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)関数
f(x)=∫01|t2-x2|dt
の最小値は[ア]である．
(2)nを正の整数とする．10nの正の約数すべての積は[イ]である．
(3)log3nが無理数となる2011以下の正の整数nは，全部で[ウ]個ある．
(4)関数f(x)は，次の2つの条件を満たしている．
(5)すべての実数xに対して，f(3+x)=f(3-x)
\monxの値が，異なる5つの実数a1,a2,a3,a4,a5のときに限・・・

　私立 早稲田大学 2011年 第3問

数列{an}を次のように定める．\\
(i)a1=0\\
(ii)n=2,3,4,・・・に対し，\\
a_{n-1}≧nのとき，an=a_{n-1}-n\\
a_{n-1}＜nのとき，an=a_{n-1}+n\\
とする．\\
次の設問に答えよ．
(1)a7を求めよ．
(2)ak=kのとき，条件
m＞k,am=m
を満たす最小の整数mをkで表せ．
(3)a_{2011}を求めよ．

　私立 早稲田大学 2011年 第1問

a＞0,b＞0は次の式を満たす．
\begin{array}{ll}
ab-b2+5a-2b+15=0&・・・・・・①\
aabb-abba-999aaba=0&・・・・・・②
\end{array}
次の問に答えよ．ただし，log_{10}2=0.3010,log_{10}3=0.4771,log_{10}7=0.8451とする．
(1)b-aの値を求めよ．
(2)aおよびbの値を求めよ．
(3)a^{50}は何桁の整数か．
(4)a^{50}の最高位の数字を求めよ．