「整数」について

　私立 明治大学 2011年 第1問

次の各問の[]に数値を入れよ．
(1)a1,a2,a3,・・・を初項が-15，公差が整数dの等差数列とする．このときa4＜0＜a5ならば，d=[1]となり，
Σ_{n=1}5(-1)^{n-1}nan=[2]
である．
(2)1から4までの数字が，1つずつ書いてある4枚のカードがある．この中から同時に2枚を取り出し，大きい方の数字をaとし，小さい方の数字をbとするとき，2a-bを得点とする．このとき，得点の期待値は，[3]であり，得点が[3]未満となる確率は，[4]で・・・

　私立 明治大学 2011年 第1問

長方形ABCDは，各辺の長さが整数で，面積が1728である．またAB＜BCであるとする．下記の空欄内の各文字に当てはまる数字を答えよ．
(1)長方形ABCDは[ア][イ]通り存在する．
(2)可能な長方形についてAB+BCの総和は\kakkofour{ウ}{エ}{オ}{カ}となる．
(3)辺ABの長さの最大値は[キ][ク]である．

　私立 明治大学 2011年 第1問

以下の[ア]から[ツ]にあてはまる数字または式を記入せよ．
(1)数列
\frac{1}{1+2},\frac{1}{1+2+3},\frac{1}{1+2+3+4},・・・
の第n項をanで表すと
a_{40}=\frac{1}{[ア][イ][ウ]}
であり，
Σ_{n=40}^{80}an=\frac{[エ]}{[オ][カ]}
である．
(2)OA=2，OB=1である三角形OABにおいて，∠AOBの2等分線と辺ABの交点をCとする．また線分ABを5:2に外分する点をD，・・・

　私立 金沢工業大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)x=√3+√2のとき，x+1/x=[ア]\sqrt{[イ]}，x3+\frac{1}{x3}=[ウエ]\sqrt{[オ]}である．
(2)(2a+1)(2a-1)(a2-a+4)の展開式におけるa2の項の係数は[カキ]である．
(3)整式A=x2-2xy+3y2，B=2x2+3y2，C=x2-2xyについて
2(A-B)-{C-(3A-B)}=[クケ]x2-[コ]xy+[サ]y2
である．
(4)方程式x2+3kx+k2+5k=0が重解をもつような定数kの値は[シ]，\ka・・・

　私立 上智大学 2011年 第1問

a,b,cは整数で，a≧1,b≧0,c≧0とする．xの2次式P(x)=ax2+bx+cを考える．
(1)P(1)=2を満たすP(x)は全部で[ア]個存在する．
(2)条件\lceilP(n)=5　を満たす自然数　n　が存在する　\rfloor
を満たすP(x)は全部で[イ]個存在する．
このようなP(x)のうち，P(3)=17を満たすものは
P(x)=[ウ]x2+[エ]x+[オ]
である．
(3)条件
\lceilP(n)=3　を満たす自然数　n　が存在し，　
\qquad\qquad\text{かつ，・・・

　私立 北海学園大学 2011年 第2問

1から10までの整数の中から異なる3個の整数を取り出す．
(1)3個の整数の取り出し方は全部で何通りあるか．
(2)取り出した3個の整数の和が偶数になる場合は何通りあるか．
(3)取り出した3個の整数の和が10以上の偶数になる場合は何通りあるか．

　私立 北海学園大学 2011年 第3問

1から9までの整数の中から異なる3つの整数a,b,cを選ぶとき，次の問いに答えよ．ただし，a＜b＜cとする．
(1)a,b,cの積が奇数になる選び方は何通りあるか．
(2)a,b,cの積が3の倍数になる選び方は何通りあるか．
(3)a,b,cの積が9の倍数になる選び方は何通りあるか．

　私立 北海学園大学 2011年 第5問

0以上の整数nに対して，In=∫01xne^{5x}dxとするとき，次の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底を表す．
(1)I0の値を求めよ．
(2)I1の値を求めよ．
(3)n≧1のとき，InをnとI_{n-1}を用いて表せ．また，I3の値を求めよ．

　私立 南山大学 2011年 第1問

[]の中に答を入れよ．
(1)循環小数1.\dot{4}\dot{6}を分数で表すと[ア]である．1.\dot{4}\dot{6}+2.\dot{7}を循環小数で表すと[イ]となる．
(2)f(θ)=√3sin2θ-cos2θ+√3sinθ+cosθとする．x=√3sinθ+cosθとして，f(θ)をxで表すと[ウ]となる．0≦θ≦πであるとき，関数f(θ)の最大値は[エ]である．
(3)(4/3)nの整数部・・・

　私立 南山大学 2011年 第1問

[]の中に答を入れよ．
(1)2次関数y=x2+x+kの-1≦x≦2における最大値が8であるとき，実数kの値は[ア]であり，そのときの最小値は[イ]である．
(2)∠Oが直角の直角三角形OABにおいて，∠Oの2等分線と辺ABの交点をCとする．OA=a，OB=bとするとき，OC=[ウ]であり，OB=OCのとき，tanAの値は[エ]である．
(3)3次方程式x3+ax-3a=0のただひとつの整数解がx=・・・